2000年全国高中数学联赛试题.doc

2000年全国高中数学联赛试题 第一试 （10月15日上午8:00(9:40） 选择题 本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|=},则是 【答】（　 ）(A){2} (B) {(1} (C) {x|x≤2} (D) 设sin(＞0,cos(＜0,且sin＞cos,则的取值范围是 【答】（　 ）(A)(2k(+,2k(+), k(Z (B) (+,+),k(Z(C)(2k(+,2k(+(),k(Z (D)(2k(+,2k(+)(2k(+,2k(+(),k(Z 已知点A为双曲线x2(y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是 【答】（　 ）(A) (B) (C) 3 (D) 6 给定正数p,q,a,b,c，其中p(q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2(2ax+c=0 【答】（　 ）(A) (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是(A) (B) (C) (D) 【答】（　 ），则以(,(3,(7,(9为根的方程是 【答】（　 ）(A) x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4(x3+x2(x+1=0(C) x4(x3(x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2(x(1=0 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 arcsin(sin2000()=__________. 设an是(3(的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则)=________. 等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________. 在椭圆(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；(2)a(b,b(c,c(d,d(a；(3)aa,b,c,d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________. 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 设Sn=1+2+3+…+n,n(N，求f(n)=的最大值. 若函数在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]. 已知C0:x2+y2=1和C1:(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。 【加试】（10月15日上午10∶00-12∶00） 一．（本题满分50分） 如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等． 二．（本题满分50分） 设数列{a n}和{b n }满足，且 证明a n（n=0，1，2，…）是完全平方数． 三．（本题满分50分） 有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3 k次，其中k是自然数，求n的所有可能值． 2000年全国高中数学联合竞赛得x=2，故A={2}；由得，故B={-1，2}.所以=φ. 2． 答案：D 由，得 从而有 ∈ ………………① 又因为，所以又有∈…………② 如上图所示，是①、②同时成立的公共部分为 . 3．答案：C 如图所示，设BD=t，则OD=t-1，从而B（t-1，t） 满足方程，可以得到t=,所以等边三角形，Δ