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概率初步培优讲义

考点直击

1.确定事件和随机事件：

(1)确定事件：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的.

(2)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

(3)事件分为确定事件和不确定事件(随机事件)，确定事件又分为必然事件和不可能事件.

2.随机事件发生的可能性(概率)的计算方法：

(1)可能性大小:

①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1；

②不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；

③如果A为不确定事件(随机事件),那么0P(A)1.

理论计算分为如下两种情况：

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算.第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：对游戏是否公平的计算.

实验估算分为如下两种情况：

第一种：利用实验的方法进行概率估算.要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率.

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算.如，利用计算器产生随机数来模拟实验.

(2)概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫作事件A的概率，记为P(A)=p.

(3)概率的公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数.

(4)几何概型的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内，而区域G与g都是可以度量的(可求面积)，现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量(长度、面积、体积等)成正比，而与g的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验(掷点)，称为几何概型.关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即P=g的测度/G的测度.简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比、面积比、体积比等.

3.列举法和树状法：

(1)当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率.

(2)列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率.

(3)列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.

(4)树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果数n.

(5)当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举.

4.游戏公平性：

(1)判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.

(2)概率=所求情况数÷总情况数.

5.利用频率估计概率：

(1)大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

(2)用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.

(3)当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率.

6.模拟实验：

(1)在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟实验.

(2)模拟实验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果.

(3)模拟实验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，往往只要设计出一个模拟实验即可.

例题精讲

例1世界杯决赛分成8个小组，每小组4个队，小组进行单循环(每个队都与该小组的其他队比赛一场)比赛，选出2个队进入16强，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.

(1)求每小组共比赛多少场?

(2)在小组比赛中，现有一队得到6分，该队出线是一个确定事件，还是不确定事件?

举一反三1下列事件为确定事件的是()

A.一个不透明的口袋中装有除颜色以外完全相同的3个红球和1个白球，均匀混合后，从中任意摸出1个球是红球

B.长度分别是4，6，9的三条线段能围成一个三角形

C.本钢篮球队运动员韩德君投篮一次命中

D.掷1枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上

举一反三