高中数学：第12讲利用二阶导函数解决函数问题高阶拓展教师版.docx

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第12讲利用二阶导函数解决函数问题（高阶拓展）（核心考点精讲精练）

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分

【备考策略】1会导数的基本运算

2能理解导函数与原函数关系

3能进行函数转化求原函数导函数的导函数，并得到原函数导函数关系，进而求解原函数单调性及其他综合问题

【命题预测】在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.

知识讲解

一般导数题目中求出导函数即可判断原函数的单调性，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题，若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文会说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

二阶导的定义

定义1:若函数的导函数在点处可导,则称在点的导数为在点的二阶导数,记作,同时称在点为二阶可导.

定义2:若在区间上每一点都二阶可导,则得到一个定义在上的二阶可导函数,记作

函数极值的第二判定定理

若在附近有连续的导函数,且

（1）若,则在点处取极大值;

（2）若,则在点处取极小值

曲线的凹凸性

设函数y=fx在区间a,b

设函数在内具有二阶导数,如果在内,那么对应的曲线在内是凹的,如果在内,那么对应的曲线在内是凸的设在区间上连续,如果对上任意两点,恒有

则称在上的图形是凹的,简称为凹弧;

如果恒有

则称在上的图形是凸的,或简称为凸弧。

曲线的拐点

曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使的点,但是使的点不一定都是拐点。

解决这类题的常规解题步骤为:

求函数的定义域;

求函数的导数,无法判断导函数正负;

构造求,求;

列出的变化关系表;

根据列表解答问题。

考点一、二阶导与函数单调性

1．（2023·江苏·统考二模）已知函数，.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围.

【答案】(1)函数的单调减区间是，单调增区间是

(2).

【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解；

（2）利用分类讨论及函数的零点与单调性的关系，再利用导数法求函数的单调性及最值，结合函数零点的存在性定理即可求解.

【详解】（1），，

，恒成立，

所以在递增.

所以当，；

，

所以函数的单调减区间是，单调增区间是.

（2），

①当时，由（1）知有且只有一个零点.

②当时，，则在区间上单调递减，

所以至多有一个零点.

③当时，，，

又因为的图象在区间上连续不间断，

所以，使得，即.

令，，

所以在区间上单调递增，

所以当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

所以，

所以无零点.

④令，当时，，

所以在区间上单调递减，

所以，有，

所以，则.

当时，，，

又因为的图象在区间上连续不间断，

所以，使得，即.

令，，

所以在区间上单调递增，

所以当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

所以.

令.

，

又因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且的图象连续不间断，，，

所以有且只有2个零点.

综上，若函数有且只有2个零点，则实数的取值范围是.

【点睛】关键点睛：解决此题第一问是利用二阶导数及函数单调性与导数的正负的关系即可，第二问是利用分类讨论的思想及导数法求函数的单调性和最值，结合函数单调性与函数零点的关系及零点的存在性定理即可.

2．（2021春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求函数的单调性．

【答案】(1)

(2)函数在上单调递减

【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求斜率,根据点斜式即可求解切线方程,

（2）利用导数确定函数的单调区间.

【详解】（1），

．

，．

曲线在点处的切线方程为，即．

（2）令，

则．

令，得；

令，得．

在上单调递减，在上单调递增．

，，，

当时，，即．当且仅当时等号成立，

当时，函数单调递减．

1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数.

(1)若，讨论的单调性；

(2)求证：有唯一极值点，且.

【答案】(1)在上单调递减，在