高中数学：第1节　导数的概念及其意义导数的运算.docx

第1节导数的概念及其意义、导数的运算

[课程标准要求]

1.通过实例分析,了解平均变化率、瞬时变化率,了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象,理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数.

1.导数的概念

(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数:如果当Δx→0时,平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值,即ΔyΔx有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f′(x0)或y′|x

(2)函数f(x)的导(函)数:当x=x0时,f′(x0)是一个唯一确定的数,这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即f′(x)=y′=limΔ

2.导数的几何意义

函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k0,即k0=limΔx→0f(x0+Δx)-

函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负反映了变化的方向,|f′(x)|的大小反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.

3.基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)=c(c为常数)

f′(x)=0

f(x)=xα(α∈R,

且α≠0)

f′(x)=αxα-1

f(x)=sinx

f′(x)=cosx

f(x)=cosx

f′(x)=-sinx

f(x)=ax

(a0,且a≠1)

f′(x)=axlna

(a0,且a≠1)

f(x)=ex

f′(x)=ex

f(x)=logax

(a0,且a≠1)

f′(x)=1

(a0,且a≠1)

f(x)=lnx

f′(x)=1

4.导数的运算法则

设两个函数f(x),g(x)可导,则

(1)和(差)的导数:[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x).

(2)积的导数:[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x).

特别地,当g(x)=c(c为常数)时,[cf(x)]′=cf′(x).

(3)商的导数:[f(x)g

5.复合函数的定义及其导数

(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).

(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

1.(1)(1x)′=-1

(2)[1f(x)

(3)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x).

2.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.

1.(2024·山东潍坊统考)设f(x)为R上的可导函数,且limΔ

A.2 B.-1 C.1 D.-1

解析:f′(1)=limΔx→

即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1.故选C.

2.(2024·山东烟台模拟)过点(0,3)且与曲线y=x3-2x+1相切的直线方程为(B)

A.x-y-3=0 B.x-y+3=0

C.x+y+3=0 D.x+y-3=0

解析:由y=x3-2x+1,得y′=3x2-2.

设切点坐标为(x0,x03-2x0+1),则切线的斜率k=3x02-2,切线方程为y-(x03-2x

由于该切线过点(0,3),所以将该点坐标代入切线方程解得x0=-1,所以切线方程为y-2=x+1,即x-y+3=0.故选B.

3.(2024·河北邯郸模拟)已知直线y=x是曲线f(x)=lnx+a的切线,则a=(B)

A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析:由函数f(x)=lnx+a,求导得f′(x)=1x

令直线y=x与曲线f(x)=lnx+a相切的切点为(x0,lnx0+a),

于是1x0=1且lnx0+a=x0,所以a=x

4.(多选题)(人教A版选择性必修第二册P81练习T1改编)下列导数的运算正确的是(ABD)

A.(3x)′=3xln3

B.(x2lnx)′=2xlnx+x

C.(cos1x)′=-1x

D.(sinxcosx)′=cos2x

解析:因为(cos1x)′=1x2

5.(2024·重庆统考模拟)已知曲线y=x2在点(2,4)处的切线与曲线f(x)=ex-x在点(x0,f(x0))处的切线互相垂直,则x0=.?

解析:由y=x2,得y′=