高中数学：第11讲导数中的新定义问题教师版.docx

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第11讲导数中的新定义问题（核心考点精讲精练）

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题结合新定义载体而定，难度一般或较大，分值为5分

【备考策略】1熟练掌握导数的定义及基本运算

2能结合实际题目理解导数新定义的概念及运算

3能结合导数知识进行综合求解

【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一，而导数新定义更加考查学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，需综合复习

知识讲解

新定义问题的解决策略

第一步，读懂定义，如果有几何意义可以考虑图象，如果考虑不了就按照定义转化为代数式，并进行化简;第二步，数形结合借助图象解决问题，如果不能借助图像就用代数的方法求解，可以考虑转化思想，将新定义问题和自己所学的知识结合起来转化为自己熟悉的知识进而求解

考点一、导数中的新定义问题

1．（2023·云南·校联考模拟预测）定义方程的实数根叫做函数的“奋斗点”.若函数，的“奋斗点”分别为，，则，的大小关系为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求导，根据“奋斗点”的定义可得，，构造函数，利用导数及零点存在定理求出的范围，由求出的范围，从而可比较大小.

【详解】函数，得，

由题意可得，，即.

设，，

因为，所以，

易得在上单调递减且，，

故.

由，，

由题意得：，易知，所以，

因为，所以.

故选:D.

2．（2023·辽宁辽阳·统考二模）现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出、，代值计算可得出函数的图象在处的曲率.

【详解】因为，所以，，

所以，，

所以.

故选：D.

3．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）函数，的定义域都是，直线与，的图象分别交于，两点，若线段的长度是不为的常数，则称曲线，为“平行曲线”设，且，为区间的“平行曲线”其中，在区间上的零点唯一，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据题意可知函数函数是由函数的图象经过上下平移得到，设

，结合，求出，即可得到，构造函数，利用导数判断函数的单调性，可得的取值范围.

【详解】解：为区间的“平行曲线”，

函数是由函数的图象经过上下平移得到，

即，

，

，

即，

由，

，

令，

在区间上的零点唯一，

与函数在区间内有唯一的交点，

，

当时，，

函数在上单调递增，

，

即，

故的取值范围是，

故选：B.

【点睛】本题考查函数新定义，考查学生的创新能力，转化与化归能力．解题关键是把问题转化为函数图象与直线有唯一交点，从而转化为利用导数确定函数的性质．

1．（2022·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）（多选）我们把形如的方程称为微分方程，符合方程的函数称为微分方程的解，下列函数为微分方程的解的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据导数的运算求得导函数，代入微分方程检验即可．

【详解】选项A，，则，，不是解；

选项B，，，，是方程的解；

选项C，，，，不是方程的解；

选项D，，，，是方程的解．

故选：CD．

2．（2023·浙江温州·统考模拟预测）（多选）若函数的图象上存在两个不同的点P，Q，使得在这两点处的切线重合，则称函数为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB，过图象最高点（或最低点）处的切线是同一条直线，可判断，选项C，由导函数斜率相等的点有无数组，结合函数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，选项D，导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论．

【详解】对A，，

，时，，取得最大值，

直线是函数图象的切线，且过点，所以函数是“切线重合函数”；

对B，，，时，，，，

此时是函数的最大值，直线是函数图象的切线，且过点，函数是“切线重合函数”；

对C，，，

时，，，

过点的切线方程是，即，

因此该切线过图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；

对D，，，令，

则，所以即是R上增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等，

也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”．

故选：ABC．

【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是理解新定义，实质仍然是求函数图象上的切线方程，只是要考虑哪些切线重合，因此本题中含有三角函数，对三角函数来讲，其最高点或最低点是首选，对其它与三角函数有关的函数，涉及到其中三角函数的最大值或最小值点也是我们首选考虑的．

3．（2023