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第5节指数与指数函数
[课程标准要求]
1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.3.会画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
1.根式
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n1,n∈N*
当n是奇数时,a的n次方根用符号na
当n是偶数时,正数a的n次方根用符号±na
0的任何次方根都是0,记作n0
式子na叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做
当n为任意正整数时,(na)n
当n为奇数时,nan
当n为偶数时,nan
2.有理数指数幂
正分数指数幂:amn
a0,
m,n∈N*,
n1
负分数指数幂:a-mn=
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
aras=ar+s
a0,
b0,
r,s∈Q
(ar)s=ars
(ab)r=arbr
有理数指数幂的运算性质中,要求底数都大于0,否则不能用性质来运算.
3.指数函数的概念、图象与性质
(1)指数函数的概念.
一般地,函数y=ax(a0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
形如y=kax,y=ax+k(k∈R,且k≠0,k≠1;a0且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数.
(2)指数函数的图象与性质.
函数
y=ax(a0,且a≠1)
0a1
a1
图象
图象特征
在x轴上方,过定点(0,1)
当x逐渐增大时,图象逐渐下降
当x逐渐增大时,图象逐渐上升
性
质
定义域
R
值域
(0,+∞)
单调性
单调递减
单调递增
函数变
化规律
当x0时,y1;当x0时,0y1
当x0时,0y1;当x0时,y1
1.底数对函数y=ax(a0,且a≠1)的函数值的影响如图所示(a1a2a3a4),不论是a1,还是0a1,在第一象限内底数越大,函数图象越高.
2.与指数函数有关的几个函数的奇偶性
(1)函数y=ax-a-x,y=1ax+1-12,y=1a
(2)函数y=ax+a-x为偶函数.
1.(人教A版必修第一册P109习题T1改编)下列运算正确的是(C)
A.(2-π)2
C.(m14n-38)8
解析:对于A,2-π0,所以(2-π)2=π-2,错误;对于B,因为-1a0,所以a0,则a-1a=-(-a)·1-a=--a,错误;对于C,(m14n-38)8
2.(2024·陕西咸阳模拟)函数f(x)=xe
解析:依题意可得f(x)=xex
又e1,则根据指数函数图象即可判断只有选项B符合.故选B.
3.(2024·上海宝山模拟)若函数y=ax(a0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值和最小值之和为12,则实数a=.?
解析:函数y=ax(a0,且a≠1)为单调函数,
所以在区间[1,2]上的最大值和最小值之和为a+a2=12.
解得a=3或a=-4(舍去).
答案:3
4.(2024·上海金山模拟)若x0时,指数函数y=(m2-3)x的值总大于1,则实数m的取值范围是.?
解析:由已知可得,m2-30且m2-3≠1.
又x0时,y1,
即(m2-3)x1=(m2-3)0,
所以有m2-31,即(m+2)(m-2)0,
解得m-2或m2.
则实数m的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
考点一指数幂的运算
1.当a0时,-a
A.xax B.x-
C.-x-ax D.-x
解析:由-ax3成立可知-ax3≥0,结合a0得x3≤0,即x≤0,因此-ax3=-ax·x2
2.化简a23ba-12·
解析:原式=a23·b1
=a23·
=a23+
=a76b
=a1
答案:a
3.计算:(-278)-23+0.002-12-10(5
解析:原式=(-32)-2+50012-10(5+2)(5
答案:-167
4.已知x+x-1=3,则x12+
解析:因为(x12+x-12)2=x+x-1+2=5,所以x
又因为(x+x-1)2=x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7,所以x12+
答案:5
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:
①必须同底数幂相乘,指数才能相加;
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
考点二指数函数的图象及应用
[例1]已知函数f(x)=ax+b(a0,且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求实数a,b的取值范围;
(2)若f(x)的图象如图②所示,方程|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求m的取值范围.
解:(1)由f(x)=ax+b为减函数可得0a1,又f(0)=1+b0,解得b-1,
所以实数a的取值范围为(0,1),
实数b的
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