湖北省荆州中学2024届高三上学期10月半月考数学.docx

荆州中学2024届高三数学十月半月考

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．已知复数（为虚数单位），则（）

A．B．C．D．

2．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

3．函数的一条对称轴为（）

A．B．C．D．

4．等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则（）

A．4B．16C．32D．64

5．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数个数为（）

A．120种B．108种C．96种D．72种

6．已知，设，则（）

A．B．C．D．

7．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

8．已知为坐标原点，是椭圆上位于上方的点，为右焦点．延长交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）

9．设随机变量，则下列说法正确的是（）

A．服从正态分布B．

C．D．当且仅当时，取最大值

10．如图所示，该曲线是由4个圆：的一部分所构成，则下列叙述正确的是（）

A．曲线围成的封闭图形面积为

B．若圆与曲线有8个交点，则

C．与的公切线方程为

D．曲线上的点到直线的距离的最小值为4

11．如图，正方体棱长为1，是上的一个动点，下列结论中正确的是（）

A．的最小值为B．当在上运动时，都有

C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变D．的最小值为

12．已知双曲线的一条渐近线方程为，圆上任意一点处的切线交双曲线于两点，则（）

A．B．满足的直线仅有2条

C．满足的直线仅有4条D．为定值2

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．设为两个不共线向量，若向量与共线，则实数__________．

14．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则__________．

15．设，函数若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为__________．

16．设函数的定义域为，对于任意的，当，有，若，则不等式的解集为__________．

四、解答题（本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）已知函数．

（1）求的值；

（2）在中，若，求的最大值．

18．（12分）如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面分别是的中点．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求和平面所成角的正弦值．

19．（12分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．

（1）写出与的递推关系，并求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，且，在与之间插入个数，若这个数恰能组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．

20．（12分）已知函数．

（1）若，求的极值；

（2）若对任意恒成立，求整数的最小值．

21．（12分）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．

（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；

（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第次回答的是甲的概率为，若．

①求；②正明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．

22．（12分）已知抛物线，过点作斜率互为相反数的直线，分别交抛物线于及两点．

（1）若，求直线的方程；

（2）求证：．

荆州中学2024届高三数学十月半月考参考答案

1-4．CDAD5-8．BCAB