新教材2023高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题分层演练新人教A版选择性必修第一册.doc

1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题

A级基础巩固

1.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则平面α外一点P(-2,1,4)到α的距离为()

A.10B.3

C.83 D.

解析:由题意,知PA=(1,2,-4).因为平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),所以点P到α的距离为(1,2,-4

答案:D

2.如图,这个立体图形是由正四棱锥P-ABCD和正方体ABCD-A1B1C1D1组成的,其中AB=2,PA=6,则点B1到平面PAD的距离为()

A.6B.355C.65

解析:如图,建立空间直角坐标系,设平面PAD的法向量是n=(x,y,z).由题意,知B1(2,0,0),A(0,0,2),D(0,2,2),P(1,1,4),所以AD=(0,2,0),AP=(1,1,2),

所以AD

所以2y=0,x+y+2z=0

所以n=(-2,0,1)是平面PAD的一个法向量.

因为B1A=(

所以点B1到平面PAD的距离d=|B1A

答案:C

3.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D的距离d是()

A.36 B.

C.233

解析:如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,连接BD1,BD,BD交AC于点E,

则B(1,1,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),E12

因为DD1⊥AC,AC⊥BD,

所以AC⊥平面D1DB,所以BD1⊥AC.

同理可证BD1⊥AB1.

因为AC∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C,即BD1是平面AB1C

因为平面AB1C∥平面A1C1D,

所以点D到平面AB1C的距离即为两平面之间的距离.

因为DE=12,12,0,B

所以d=|DE

12×(-

故选B.

答案:B

4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为423

解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),所以GF=(1,-1,-1),GD1=(0,-2,1),所以GF·GD1|GF|=2-13=33,|GD

5.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN到平面ACD1的距离为32

解析:如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则平面ACD1的一个法向量为(1,1,1),

由题意,知M1,1,

所以AM=0,

所以点M到平面ACD1的距离为d=0,1,

易知MN∥AD1,又因为MN?平面ACD1,AD1?平面ACD1,

所以MN∥平面ACD1,

所以MN到平面ACD1的距离为32

6.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=π4,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点

(1)求异面直线AB与MD夹角的大小;

(2)求点B到平面OCD的距离.

解:如图,作AP⊥CD于点P,以A为坐标原点,AB,AP,AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(1,0,0),P0,22,0,D-2

(1)设异面直线AB与MD的夹角为θ,因为AB=(1,0,0),MD=-2

所以cosθ=|AB·MD||AB|·|

所以异面直线AB与MD夹角的大小为π3

(2)因为OP=0,22,-2

设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),

则n·OP

取z=2,则x=0,y=4,

所以n=(0,4,2)是平面OCD的一个法向量.

设点B到平面OCD的距离为d.

因为OB=(1,0,-2),

所以d=|OB·n

所以点B到平面OCD的距离为23

B级能力提升

7.在空间直角坐标系中,定义平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=|Ax0+By0+Cz0+

A.55 B.

C.2 D.5

解析:如图,作出正四棱锥P-ABCD,以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系,

则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将点A,B,P的坐标代入计算,可得A=0,B=-D,C=-12D,所以平面PAB的方程为-Dy-12Dz+D=0,即2y+z-2=0,所以点O到侧面的距离d=|2

答案:B

8.如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,且PD⊥A