新教材2023高中数学第三章圆锥曲线的方程第三章圆锥曲线的方程质量评估新人教A版选择性必修第一册.doc

第三章质量评估

(时间:120分钟分值:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a(a0),当a=3和a=5时,点P的轨迹分别为()

A.双曲线和一条直线

B.双曲线和两条射线

C.双曲线的一支和一条直线

D.双曲线的一支和一条射线

解析:当2a|AB|时,表示双曲线的一支;当2a=|AB|时,表示一条射线.

答案:D

2.(2022全国卷乙)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=()

A.2 B.22 C.3 D.32

解析:F为抛物线C:y2=4x的焦点(1,0),点A在C上,点B(3,0),|AF|=|BF|=2,由抛物线的定义知A(1,2)(A不妨设在第一象限),所以|AB|=(3-1)

答案:B

3.已知双曲线的实轴长为2,焦点为(-4,0),(4,0),则该双曲线的标准方程为()

A.x212-y24=1 B.x

C.x2-y215=1 D.y215

解析:由题意,得c=4,a=1,所以b2=c2-a2=16-1=15.因为双曲线以(-4,0),(4,0)为焦点,所以双曲线的标准方程是x2-y215=

答案:C

4.若a1,则双曲线x2a2-y2(a+1)2

A.(2,2) B.(2,5)

C.(2,5) D.(2,5)

解析:由题意,得e2=ca2=a2+(a+1)2a2=1+1+1a2.因为1a是随着a的增大而减小的,所以当a1时,0

答案:B

5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点为圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为

A.(-3,0) B.(-4,0)

C.(-10,0) D.(-5,0)

解析:因为圆的方程可化为(x-3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3.由题意,知b=4,所以a=b2+c2=5.因为椭圆的一个焦点为(3,0),所以椭圆的左顶点为

答案:D

6.若椭圆x24+y22=1的弦AB的中点为(-1,-1),则弦AB的长为

A.303 B.263 C.

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2,y1+y2=-2.因为点A,B在椭圆上,所以x124+y122=1,x224+y222=1,解得弦AB所在直线的斜率为-12,所以弦AB所在直线的方程为y=-

答案:A

7.设F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐标原点.过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则双曲线

A.5 B.2 C.3 D.2

解析:设渐近线的方程为bx-ay=0,则直线PF2的方程为ax+by-ac=0,由ax+by-ac=0,bx-ay=0,可得Pa2c,abc.由F1(-c,0)及|PF1|=6|OP|,得a

答案:C

8.已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且|PF1||PF2|,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则2e1+e22的最小值为

A.6 B.3 C.6 D.3

解析:如图,设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2,由题意可知,|F1F2|=|F2P|=2c.

因为|F1P|+|F2P|=2a1,|F1P|-|F2P|=2a2,所以|F1P|+2c=2a1,|F1P|-2c=2a2,

两式相减,可得a1-a2=2c.

因为2e1+e22=2a

所以2e1+e22=

4+2a2c

因为2a2c+c2a2≥22a2c×c2a2=

答案:C

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.已知曲线C:mx2+ny2=1,下列说法正确的是()

A.若m=0,n0,则C是两条直线

B.若m=n0,则C是圆,其半径为n

C.若mn0,则C是椭圆,其焦点在x轴上

D.若mn0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-m

解析:已知曲线C:mx2+ny2=1,

若m=0,n0,则C是两条直线:y=nn和y=-nn,所以A

若m=n0,则C是圆,其半径为nn,所以B项错误

若mn0,则C是椭圆,其焦点在y轴上,所以C项错误;

若mn0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±-mnx,所以D

故选AD.

答案:AD

10.已知双曲线的方程为x29-y27=1,则下列说法正确的是

A.焦点坐标为(±2,0)

B.渐近线方程为7x±3y=0

C.离心率为4

D.焦点到渐近线的距离为14

解析:由双曲线的方程为x29-y2