新教材2023高中数学第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第2课时用空间向量研究夹角问题分层演练新人教A版选择性必修第一册.doc

1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第2课时用空间向量研究夹角问题

A级基础巩固

1.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()

A.15B.25C.35

解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略).设AB=1,则B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),所以A1B=(0,1,-2),AD1

cosA1B,AD1=A1

所以异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45

答案:D

2.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量a=(-2,-3,3),则l与α所成角的余弦值为()

A.-1111 B.

C.-11011 D.

解析:设α与l所成的角为θ,则sinθ=|cosa,n|=|(-2,-3,3)·(4,1,1)|4+9+9×

答案:D

3.如图,正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角为()

A.30° B.45° C.60° D.90°

解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以AD=(0,1,0).

取PD中点为E,则E0,

所以AE=0,

易知AD是平面PAB的一个法向量,AE是平面PCD的一个法向量,所以cosAD,AE=AD·AE|

所以平面PAB与平面PCD的夹角为45°.

答案:B

4.如图所示,在四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,

AB=AD=2.

(1)求证:AO⊥平面BCD;

(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.

(1)证明:如图,连接OC.

由题意,知BO=DO,AB=AD,

所以AO⊥BD.

因为BO=DO,BC=CD,所以CO⊥BD.

在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=3,

因为CA=2,所以AO2+CO2=CA2,

所以∠AOC=90°,即AO⊥CO.

因为BD∩CO=O,所以AO⊥平面BCD.

(2)解:如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,

则B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,1),

所以BA=(-1,0,1),CD=(-1,-3,0),

所以cosBA,CD=BA·CD|

所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为24

5.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.

(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;

(2)当PD=2AB,且E为PB的中点时,求直线AE与平面PDB所成角的大小.

(1)证明:如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,

设AB=a,PD=h,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),P(0,0,h).

所以AC=(-a,a,0),DP=(0,0,h),DB=(a,a,0),

所以AC·DP=0,AC·DB=0,

所以AC⊥DP,AC⊥DB.

因为DP∩DB=D,所以AC⊥平面PDB.

又因为AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面PDB.

(2)解:当PD=2AB,且E为PB的中点时,P(0,0,2a),E12a,1

如图,连接OE,由(1)知AC⊥平面PDB于点O,

所以∠AEO为直线AE与平面PDB所成的角.

因为EA=12a,-12

所以cos∠AEO=EA·EO|

所以∠AEO=45°,即直线AE与平面PDB所成角的大小为45°.

B级能力提升

6.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()

A.60° B.90°

C.45° D.以上都不对

解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

由题意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),所以A1E=(0,1,-1),D1E=(1,1,-1),EA=(0,-

设平面A1ED1的法向量为n=(x,y,z),

则n·A

令z=1,得y=1,x=0,

所以n=(0,1,1)是平面A1ED1的一个法向量.

因为cosn,EA=n·EA|n||

所以n,EA=180°.

所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.

答案:B

7.如图,在空间直角坐标系Dxyz中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体,AA1=AB=2AD,E为C1D1的中点,则平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值为()

A.-33 B.-32 C.3

解析