高中数学：6-最值问题与取值范围.doc

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取值范围与最值问题

一、参数取值范围

1．已知椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋eq\f(1,2)对称．

(1)求实数m的取值范围；

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．

2．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，中心在原点．若右焦点到直线x－y＋2eq\r(2)＝0的距离为3．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N．当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．

3．已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2＋y2＝9上．

(1)求抛物线C1的方程；

(2)已知椭圆C2：eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m＞n＞0)的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为eq\f(1,2)．直线l：y＝kx－4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．

4．已知椭圆E：eq\f(x2,t)＋eq\f(y2,3)＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．

(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；

(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．

5．设点P(x，y)到直线x＝2的距离与它到定点(1，0)的距离之比为eq\r(2)，并记点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)设M(－2，0)，过点M的直线l与曲线C相交于E，F两点，当线段EF的中点落在由四点C1(－1，0)，C2(1，0)，B1(0，－1)，B2(0，1)构成的四边形内(包括边界)时，求直线l斜率的取值范围．

6．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为eq\f(\r(3),3)，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝eq\f(b2,4)截得的线段的长为c，|FM|＝eq\f(4\r(3),3)．

(1)求直线FM的斜率；

(2)求椭圆的方程；

(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于eq\r(2)，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．

7．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x＋y＋1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P为椭圆C上一点，若过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足eq\o(OS,\s\up6(→))＋eq\o(OT,\s\up6(→))＝teq\o(OP,\s\up6(→))(O为坐标原点)，求实数t的取值范围．

8．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，过椭圆顶点(a，0)，(0，b)的直线与圆x2＋y2＝eq\f(2,3)相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(OP,\s\up6(→))(O为坐标原点)，当|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))|＜eq\f(2\r(5),3)时，求实数t的取值范围．

9．如图，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1．

(1)若＝2＋eq\r(2)，＝2－eq\r(2)，求椭圆的标准方程；

(2)若|PQ|=λ|PF1|,且QUOTE34eq\f(3,4)≤λQUOTE43eq\f(4,3)，试确定椭圆离心率e的取值范围．

二、面积最值

1．已知点A(0，－2)，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为eq\f(2\r(3),3)，O为坐标原点．

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

2.如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

(2)若P是半椭圆x2＋y24＝1(x＜0)上的动点，求△