张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有).pptVIP

曲线坐标系的坐标变换二者之间的关系：→→→曲线坐标系的坐标变换对比两大关系：指标升降关系：坐标变换关系：曲线坐标系的坐标变换张量分析中的第二大基本关系：坐标变换关系※基矢量的坐标变换：基矢量本质上是曲线的切线矢量。由所有切线构成的切空间很重要！——陈省身非线性变换，一定存在Jacobi矩阵或逆矩阵(Jacobi矩阵)(Jacobi逆矩阵)——协变转换系数——逆变转换系数曲线坐标系的坐标变换张量分析中的第二大基本关系：坐标变换关系※矢量分量的坐标变换：与的性质：曲线坐标系的坐标变换回顾第一大基本关系：指标升降关系曲线坐标系的坐标变换张量分析中的第二大基本关系：坐标变换关系※度量张量分量的坐标变换：小注：对于矢径r，只有在直角和斜角直线坐标系下才可写作，而在大多数曲线坐标系下不成立。并矢与并矢式☆并矢，又称张量积，形式为两个矢量a与b并写在一起，写作ab，一般来说，ab≠ba。☆并矢是从抽象的角度提出的，在许多物理和力学问题中都需要用到并矢。例如：应力张量在直角坐标系下写成分量形式：，式中的即是并矢。☆并矢还包括多于两个矢量的并矢，称为多并矢，如abc，abcd等。并矢与并矢式★并矢的初等代数运算规律※结合律：※分配律：※求和：并矢与并矢式★缩并缩并，即并矢中两个矢量进行点积。每缩并一次，并矢的阶数降低两阶。例如并矢ab和cd之间的缩并：顺序缩并邻近优先缩并*弹性力学中的本构方程，就是张量之间的缩并。本构是客观的直角坐标系下分量形式张量的基本概念张量T一组有序数，满足坐标变换和指标升降下的不变性。*零阶张量即为标量，一阶张量即为矢量，二者均满足坐标变换下的不变性。其中，张量的基本概念张量T一组有序数，满足坐标变换和指标升降下的不变性。看指标升降的一个例子：空间维数张量的基本概念度量张量G*度量张量G的缩并缩并后得到：张量的代数运算※张量的相等若张量T与S在同一个坐标系中的逆变（或协变，或混变）分量一一相等，即：则此两个张量的其它一切分量均一一相等：且任意坐标系中的一切分量均一一相等：张量的代数运算※张量的相等张量T与S相等的实体写法为：※张量的加法若将两个张量T与S在同一个坐标系中的逆变（或协变，或混变）分量一一相加，则得到一组数，它们是新张量U的逆变（或协变，或混变）分量：实体写法为：张量的代数运算※张量的乘法*标量与张量相乘分量形式实体形式*张量与张量并乘分量形式实体形式*张量的缩并许多张量的不变量是由缩并而得到的！第一主不变量张量的代数运算※张量的乘法*张量的缩并例如四阶张量对j、k缩并得到：二阶张量的缩并：空间维数缩并缩并张量的代数运算※张量的点积张量的点积是指两个张量T与S先并乘后缩并的运算例如四阶张量T与三阶张量S的点积：并乘得到七阶张量：缩并一次得到五阶张量：张量的代数运算※张量的双点积张量的双点积是指两个张量T与S先并乘后再进行两次缩并的运算例如四阶张量T与三阶张量S的两种双点积：并联式串联式张量的代数运算※张量的转置四阶张量T对第1，2指标的转置张量为：对第1，3指标的转置张量为：一般来说张量的转置调换指标，变换形式只调前后，不调上下张量的代数运算※张量的对称化与反对称化?若四阶张量满足则称张量T对其1，2指标是对称张量，用来表示其转置张量，则。?若四阶张量满足则称张量T对其1，2指标是反对称张量，用来表示其转置张量，则。张量的代数运算※张量的对称化与反对称化可立即得出反对称张量的对角分量均为零（同为协变或逆变指标）?对称化运算?反对称化运算对称结构加任意载荷，均可分为对称和反对称。两种运算对任意张量均成立对称反对称张量的代数运算※张量的商法则（判断是否为张量）若张量，已知为张量，则必为张量。具体例子请见《张量分析》中33~35页。张量的矢积※置换符号与行列式的展开式置换符号，又称Ricci符号，是把有序变换群表达到最简单的排列（置换）符号。对于二阶张量而言，其混变分量与矩阵代数、行列式运算相关。转下页顺序排列张量的矢积※置换符号与行列式的展开式顺序排列逆序排列