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中考数学培优专题:
《四边形压轴专练》
1.如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F,以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG.
(1)证明平行四边形ECFG是菱形;
(2)若∠ABC=120°,连结BG、CG、DG,
①求证:△DGC≌△BGE;
②求∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=90°,AB=8,AD=14,M是EF的中点,求DM的长.
2.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过点A作AG∥BD交CB的延长线于点G.
(1)求证:DE∥BF.
(2)若∠G=90°.
①求证:四边形DEBF是菱形;
②当AG=4,BG=3时,求四边形DEBF的面积.
3.如图1,在矩形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP交对角线BD于点E,BP=BE.作线段AP的中垂线MN分别交线段DC,DB,AP,AB于点M,G,F,N.
(1)求证:∠BAP=∠BGN;
(2)若AB=6,BC=8,求;
(3)如图2,在(2)的条件下,连接CF,求tan∠CFM的值.
4.如图①所示,已知正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE.
(1)发现:当正方形AEFG绕点A旋转,如图②所示.
①线段DG与BE之间的数量关系是;
②直线DG与直线BE之间的位置关系是;
(2)探究:如图③所示,若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形,且AD=2AB,AG=2AE时,上述结论是否成立,并说明理由.
(3)应用:在(2)的情况下,连接BG、DE,若AE=1,AB=2,求BG2+DE2的值(直接写出结果).
5.在四边形ABCD中,E为BC边中点.
(Ⅰ)已知:如图1,若AE平分∠BAD,∠AED=90°,点F为AD上一点,AF=AB.
求证:(1)△ABE≌AFE;
(2)AD=AB+CD;
(Ⅱ)已知:如图2,若AE平分∠BAD,DE平分∠ADC,∠AED=120°,点F,G均为AD上的点,AF=AB,GD=CD.
求证:(1)△GEF为等边三角形;
(2)AD=AB+BC+CD.
6.如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°)得到正方形AB′C′D′.
(1)如图1,B′C′与AC交于点M,C′D′与AD所在直线交于点N,若MN∥B′D′,求α;
(2)如图2,C′B′与CD交于点Q,延长C′B′与BC交于点P,当α=30°时.
①求∠DAQ的度数;
②若AB=6,求PQ的长度.
7.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AD=2,BC=5,DC=3,点E在边BC上,tan∠AEC=3,点M是射线DC上一个动点(不与点D、C重合),联结BM交射线AE于点N,设DM=x,AN=y.
(1)求BE的长;
(2)当动点M在线段DC上时,试求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)当动点M运动时,直线BM与直线AE的夹角等于45°,请直接写出这时线段DM的长.
8.在正方形ABCD中,AB=6,M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合),连接CM,过点M作MN⊥CM,交AB(或AB的延长线)于点N,连接CN.
感知:如图①,当M为BD的中点时,易证CM=MN.(不用证明)
探究:如图②,点M为对角线BD上任一点(不与B、D重合).请探究MN与CM的数量关系,并证明你的结论.
应用:(1)直接写出△MNC的面积S的取值范围;
(2)若DM:DB=3:5,则AN与BN的数量关系是.
9.矩形ABCD中,AB=2,AD=4,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF(其中E、G、F分别与A、B、D对应).
(1)如图1,当点G落在AD边上时,直接写出AG的长为;
(2)如图2,当点G落在线段AE上时,AD与CG交于点H,求GH的长;
(3)如图3,记O为矩形ABCD对角线的交点,S为△OGE的面积,求S的取值范围.
10.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P、Q分别在边AC、射线CB上,且AP=CQ,过点P作PM⊥AB,垂足为点M,联结PQ,以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM,设AP=x,平行四边形PQNM的面积为y.
(1)当平行四边形PQNM为矩形时,求∠PQM的正切值;
(2)当点N在△ABC内,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQNM一边的中点时,直接写出x的值.
11.(1)问题探究:如图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,AE是∠BAD的平分线,则线段AB,AD,DC之间的等量关系为;
(2)方法迁移:如图②,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交
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