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黑龙江省齐齐哈尔市“四校联盟”2024届高三第一次调研测试数学试卷
请考生注意:
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.对于函数,若满足,则称为函数的一对“线性对称点”.若实数与和与为函数的两对“线性对称点”,则的最大值为()
A. B. C. D.
2.已知复数z=2i1-i,则
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在钝角中,角所对的边分别为,为钝角,若,则的最大值为()
A. B. C.1 D.
4.执行如图所示的程序框图,若输出的,则①处应填写()
A. B. C. D.
5.复数满足,则复数等于()
A. B. C.2 D.-2
6.的展开式中的常数项为()
A.-60 B.240 C.-80 D.180
7.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵,其各行各列及两条对角线所含的个数之和(简称幻和)相等,例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示).则“5阶幻方”的幻和为()
A.75 B.65 C.55 D.45
8.要得到函数的图像,只需把函数的图像()
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
9.“是函数在区间内单调递增”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则()
A. B. C. D.
11.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()
A. B. C. D.
12.如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是()
A.
B.
C.
D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知(为虚数单位),则复数________.
14.已知函数,对于任意都有,则的值为______________.
15.已知平行于轴的直线与双曲线:的两条渐近线分别交于,两点,为坐标原点,若为等边三角形,则双曲线的离心率为______.
16.在中,角,,的对边分别为,,,若,且,则面积的最大值为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,已知,分别是正方形边,的中点,与交于点,,都垂直于平面,且,,是线段上一动点.
(1)当平面,求的值;
(2)当是中点时,求四面体的体积.
18.(12分)已知数列和满足:.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)求数列的前项和.
19.(12分)如图,已知抛物线:与圆:()相交于,,,四个点,
(1)求的取值范围;
(2)设四边形的面积为,当最大时,求直线与直线的交点的坐标.
20.(12分)已知函数,其中.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)设,求证:;
(Ⅲ)若对于恒成立,求的最大值.
21.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.
(1)求的直角坐标方程和的直角坐标;
(2)设与交于,两点,线段的中点为,求.
22.(10分)某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉,观景喷泉的示意图如图所示,两点为喷泉,圆心为的中点,其中米,半径米,市民可位于水池边缘任意一点处观赏.
(1)若当时,,求此时的值;
(2)设,且.
(i)试将表示为的函数,并求出的取值范围;
(ii)若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时,观赏角度的最大值不小于,试求两处喷泉间距离的最小值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据已知有,可得,只需求出的最小值,根据
,利用基本不等式,得到的最小值,即可得出结论.
【详解】
依题意知,与为函数的“线性对称点”,
所以,
故(当且仅当时取等号).
又与为函数的“线性对称点,
所以,
所以,
从而的最大值为.
故选:D.
【点睛】
本题以新定义为背景,考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式,理解新定义含义,正确求出的表达式是解题的关键,属于中档题.
2、C
【解析】
分析:根据复数的运算,求得复数z,再利用复数的表示,即可得到复数对应的点,得到答案.
详解:由题意,复数z=2i1-i
所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,
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