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新人教版9年级数学《圆周角》
圆周角(1)
回忆1.什么叫圆心角?.OAB顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论,这个结论是什么?在同圆(或等圆)中,如果圆心角、弧、弦有一组量相等,那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
探究.OA问题:将圆心角顶点向上移,直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征?C顶点在圆上两边都与圆相交这样的角叫圆周角。B圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
问题探讨:判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角?并说明理由。PPPP不是是不是不是顶点不在圆上。顶点在圆上,两边和圆相交。两边不和圆相交。有一边和圆不相交。
问题解决:你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗?ABCOABCOABCO
分析论证1.首先考虑一种特殊情况当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.ABCO∵OA=OC∴∠A=∠C又∠BOC=∠A+∠C∴∠BOC=2∠A即∠A=∠BOC
分析论证你能证明第2种情况吗ABCOD提示:作射线AO交⊙O于D。转化为第1种情况证明:由第1种情况得即∠BAC=∠BOC∠BAD=∠BOD∠CAD=∠COD∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD
分析论证你能证明第3种情况吗证明:作射线AO交⊙O于D。由第1种情况得即∠BAC=∠BOC∠BAD=∠BOD∠CAD=∠COD∠CAD-∠BAD=∠COD-∠BODABCOD
综上所述:我们得到:同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半ABCOABCOABCO即∠BAC=∠BOC
圆周角定理OECDBA一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
如图,∠A是圆O的圆周角,∠A=40°,求∠OBC的度数。巩固练习
5,已知:△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,求∠AOB.BACO
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。思考:1、“同圆或等圆”的条件能否去掉?2、判断正误:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量也相等。推论1ABCDE﹒ABCDEFO
练习:如图,点A、B、C、D在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角,这些角中哪些是相等的角?BC∠1=∠4∠2=∠7∠3=∠6∠5=∠8解:
问题1:如图,AB是⊙O的直径,请问:∠C1、∠C2、∠C3的度数是。ABOC1C2C3推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。问题2:若∠C1、∠C2、∠C3是直角,那么∠AOB是。90°180°探究与思考:
1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度?推论:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角).反过来也是成立的,即90°的圆周角所对的弦是圆的直径探究二:OABC2.90°的圆周角所对的弦是否是直径?
例如图,⊙O直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、BD的长.又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,解:∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中,∵CD平分∠ACB,∴AD=BD.七、例题
如果∠A=44°,则∠BOC=____.如果∠BOC=44°,则∠A=____.如果∠A=35°,则∠BDC=____.OABCD练习
练一练3、如图,在⊙O中,∠ABC=50°,则∠AOC等于()A、50°;B、80°;C、90°;D、100°ACBOD4、如图,△ABC是等边三角形,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于()A、30°;B、60°;C、90°;D、45°CABPB
6、如图,△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上,∠C=30°,AB=2,则⊙O的半径是。CABO
练一练7、如图,∠A=50°,∠ACB=60°BD是⊙O的直径,则∠AEB等于()A、70°;B、100°;C、90°;D、120°BACBODE
练习:8,如图AB是⊙O的直径,C,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=___.ABOCD40°500
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