天津市南开区第四十三中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案解析）.docx

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天津市南开区第四十三中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．若，且，则与的夹角是（????）

A． B． C． D．

3．下列命题中正确的个数为（????）

①如果直线，那么平行于经过的任何平面；②如果直线和平面满足，那么；③如果直线和平面满足，那么.

A．0 B．1 C．2 D．3

4．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（????）

A．20 B．12 C． D．

5．已知复数与都是纯虚数，则（????）

A． B． C． D．

6．正方体的顶点都在同一球面上，且此球体积为，则正方体的体积为

A． B． C．8 D．27

7．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则

A． B． C． D．

8．已知内角的对边分别是，若，，，则的面积为

A． B． C． D．

9．在中，已知，那么一定是（????）

A．等腰直角三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等边三角形

10．庑殿顶是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，宋代称为“五脊殿”、“吴殿”，清代称为“四阿殿”，如图（1）所示.现有如图（2）所示的庑殿顶式几何体，其中正方形边长为3，，且到平面的距离为2，则几何体的体积为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

11．复数满足，则．

12．等边三角形的边长为2，则在上的投影向量为.

13．已知圆锥的顶点和底面圆周均在半径为2的球的球面上，且圆锥母线，则该圆锥的高．

14．在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为.

三、解答题

15．已知复数（为虚数单位）.

(1)若是纯虚数，求的值；

(2)若，求实数的值.

16．已知向量，．

(1)当∥时，求x的值；

(2)当x=-1时，求向量与的夹角的余弦值；

(3)当时，求．

17．在的内角，，所对边的长分别是，，，已知，，．

(1)求的值；

(2)求的值；

(3)求的值．

18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点.

(1)求证：平面；

(2)若为中点，求证平面平面.

19．已知A，B，C为的三内角，且其对边分别为a，b，c．若且．

(1)求角A的大小；

(2)若，求的周长的取值范围．

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参考答案：

1．D

【分析】应用复数的除法求得，进而确定其共轭复数的点坐标，即可得答案.

【详解】由题设，，故，

所以对应点为在第四象限.

故选：D

2．B

【分析】根据题意即可得，得到，从而可得到与的夹角.

【详解】，，，，

，

，，

故选：B.

3．B

【分析】根据题意，结合线面位置的判定定理、性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】对于①中，如果直线，那么平行于经过的任何平面或在此平面内，所以①错误；

对于②中，如果直线和平面满足，在与平行、相交或异面，所以②错误；

对于③中，过直线作平面，交平面于直线，根据线面平行的性质，可得，

因为，可得，又因为，所以，所以③正确.

故选：B.

??

4．A

【分析】根据斜二测法求得且，进而求出，即可得结果.

【详解】由题设，则原四边形中，又，

故，且，

所以四边形的周长为.

故选：A

5．B

【分析】根据题意，设，结合复数的运算可得，再由纯虚数的定义列出方程，即可得到结果.

【详解】设，

且为纯虚数，

所以，解得，所以.

故选：B

6．C

【分析】求出球半径，可得正方体对角线与棱长即可

【详解】若球体积为，

则其直径为，

由正方体外接球直径为正方体的体对角线，

正方体棱长为，则其体积为.

故选：C

7．B

【分析】利用平面几何知识求解

【详解】如图，可知

=，选B.

【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，

8．B

【分析】由，根据正弦定理可得，结合，，再利用余弦定理解方程可得，利用三角形面积公式可得结果.

【详解】因为内角的对边分别是，

且，，，

所以由正弦定理可得，

由余弦定理可得，

解得，

所以三角形的面积为：

，故选B.