微考点4-1 2024新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编（原卷版）.docx

微考点4-12024新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编

【精选例题】

【例1】对于，若数列满足，则称这个数列为“数列”.

（1）已知数列1，，是“数列”，求实数m的取值范围；

（2）是否存在首项为的等差数列为“数列”，且其前n项和使得恒成立？若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由；

（3）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”，数列不是“数列”，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由.

【例2】已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.

(1)若，写出及的值；

(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；

(3)设集合，求证：且.

【例3】已知数集具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于．

(1)分别判断数集与是否具有性质；

(2)求证：；

(3)给定正整数，求证：，，，组成等差数列．

【例4】设集合，其中.若集合满足对于任意的两个非空集合，都有集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等，则称集合具有性质.

(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；

(2)若集合具有性质，求证：；

(3)若集合具有性质，求的最大值.

【例5】已知无穷数列（）的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为．

(1)若，请写出数列的前5项；

(2)求证：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是严格增数列的充分不必要条件；

(3)若，2，3，，求数列的通项公式．

【例6】若数列满足：，且，则称为一个X数列.对于一个X数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列.

(1)若X数列中，，，，写出其伴随数列中的值；

(2)若为一个X数列，为的伴随数列.

①证明：“为常数列”是“为等比数列”的充要条件；

②求的最大值.

【例7】数列的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，；

(1)若集合，求当时，的值；

(2)若集合，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中；

(3)对于（2）中集合．定义，求（用n表示）．

【例8】若正整数的二进制表示是，这里()，称有穷数列1，，，，为的生成数列，设是一个给定的实数，称为的生成数.

（1）求的生成数列的项数；

（2）求由的生成数列，，，的前项的和(用?表示)；

（3）若实数满足，证明：存在无穷多个正整数，使得不存在正整数满足.

【例9】已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数．

(1)用表示；

(2)求证：对一切正整数n，的充要条件是；

(3)若，记证明数列成等比数列，并求数列的通项公式．

【例10】已知数列，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为．

(1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值；

(2)若是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；

(3)若，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．

【跟踪训练】

1．已知数列：1，，，3，3，3，，，，，，，即当（）时，，记（）.

(1)求的值；

(2)求当（），试用、的代数式表示()；

(3)对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数.

2．对于无穷数列，若存在正整数，使得对一切正整数都成立，则称无穷数列是周期为的周期数列.

(1)已知无穷数列是周期为的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；

(2)若无穷数列和满足，求证：“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列，且”；

(3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.

3．若实数数列满足，则称数列为数列.

(1)请写出一个5项的数列，满足，且各项和大于零；

(2)如果一个数列满足：存在正整数使得组成首项为1，公比为的等比数列，求的最小值；

(3)已知为数列，求证：为数列且为数列”的充要条件是“是单调数列”.

4．若存在常数，使得数列满足（，），则称数列为“数列”.

(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由；

(2)若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；

(3)若数列是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明.

5．设为正整数，如果表达式同时满足下列性质，则称之为“交错和”.①，；②；③当时，（）；④规定：当时，也是“交错和”.

（1）请将7和10表示为“交错和”；

（2）若正整数可以表示为“交错和”，求证：；

（3）对于任意正整数，判断一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论.

6．设正整数数列满足.

(1)若，请写出所有可能的的取值；

(2)求证：中一定有一项的值为