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黑龙江齐齐哈尔普高联谊校2024年高三第三次测评数学试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的准线方程是,则实数()
A. B. C. D.
2.已知点是双曲线上一点,若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.2
3.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
4.函数的图象如图所示,则它的解析式可能是()
A. B.
C. D.
5.正三棱锥底面边长为3,侧棱与底面成角,则正三棱锥的外接球的体积为()
A. B. C. D.
6.已知纯虚数满足,其中为虚数单位,则实数等于()
A. B.1 C. D.2
7.已知非零向量满足,,且与的夹角为,则()
A.6 B. C. D.3
8.已知函数满足当时,,且当时,;当时,且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则的取值范围是()
A. B. C. D.
9.函数(,,)的部分图象如图所示,则的值分别为()
A.2,0 B.2, C.2, D.2,
10.已知集合,,则
A. B.
C. D.
11.已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出四个命题:
①若,,,则;②若,,则;
③若,,,则;④若,,,则
其中正确的是()
A.①② B.③④ C.①④ D.②④
12.函数的大致图象是
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图,已知圆内接四边形ABCD,其中,,,,则__________.
14.已知函数的图象在点处的切线方程是,则的值等于__________.
15.已知数列满足,且恒成立,则的值为____________.
16.三所学校举行高三联考,三所学校参加联考的人数分别为160,240,400,为调查联考数学学科的成绩,现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本,若在学校抽取的数学成绩的份数为30,则抽取的样本容量为____________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)讨论的零点个数;
(2)证明:当时,.
18.(12分)设函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若函数有两个极值点,求证:.
19.(12分)已知函数(),不等式的解集为.
(1)求的值;
(2)若,,,且,求的最大值.
20.(12分)这次新冠肺炎疫情,是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难,但从来没有被压垮过,而是愈挫愈勇,不断在磨难中成长,从磨难中奋起.在这次疫情中,全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究,一名同学在数据统计中发现,从2020年2月1日至2月7日期间,日期和全国累计报告确诊病例数量(单位:万人)之间的关系如下表:
日期
1
2
3
4
5
6
7
全国累计报告确诊病例数量(万人)
1.4
1.7
2.0
2.4
2.8
3.1
3.5
(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合与的关系?
(2)求出关于的线性回归方程(系数精确到0.01).并预测2月10日全国累计报告确诊病例数.
参考数据:,,,.
参考公式:相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,.
21.(12分)
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)证明:();
(Ⅲ)证明:.
22.(10分)已知在四棱锥中,平面,,在四边形中,,,,为的中点,连接,为的中点,连接.
(1)求证:.
(2)求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.
【详解】
因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.
故选:C
【点睛】
本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.
2、A
【解析】
设点的坐标为,代入椭圆方程可得,然后分别求出点到两条渐近线的距离,由距离之积为,并结合,可得到的齐次方程,进而可求出离心率的值.
【详解】
设点的坐标为,有,得.
双曲线的两条渐近
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