重点突围：专题07 矩形、菱形、正方形中的折叠问题（解析版）-人教八下期中综合复习.docxVIP

八年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（人教版）

专题07矩形、菱形、正方形中的折叠问题

【典型例题】

1．（2021·广东惠州·八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长；

（3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）．

【解析】

【分析】

（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．

（2）矩形的性质和勾股定理求解．

（3）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此时PE+PQ的值最小，由折叠的性质得出∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，由直角三角形的性质得出CQ＝，即可得到答案．

【详解】

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC与BD相等且互相平分，

∴OC＝OD，

∵△COD关于CD的对称图形为△CED，

∴OD＝ED，EC＝OC，

∴OD＝ED＝EC＝OC，

∴四边形OCED是菱形．

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝2．

∵四边形OCED是正方形，

∴∠COD＝90°．

在直角△COD中，由勾股定理得：

OC2+OD2＝22，

∵OD＝OC，

∴OC＝；

（3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示：

此时PE+PQ的值最小为；理由如下：

∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED，

∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，

∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，

∵AC＝BD＝3，

∴OC＝OD＝，

∴∠DCO＝∠ACD＝30°，

∴∠DCE＝30°，

∴∠OCQ＝60°，

∴∠COQ＝30°，

∴CQ＝，

即PE+PQ的最小值为．

【点睛】

本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，正方形的判定，勾股定理以及垂线最短等知识，熟练掌握翻折的性质和菱形的性质与判定是解题的关键.

【专题训练】

选择题

1．（2021·天津市实验中学滨海学校八年级期中）如图，折叠矩形ABCD，使点D落在点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长（????????）

A．5cm B．2cm C．3cm D．4cm

【答案】C

【解析】

【分析】

根据矩形及折叠的性质可得，，在中，利用勾股定理得出，，在中，设，则，继续利用勾股定理求解即可得．

【详解】

解：∵四边形ABCD为矩形，且经过折叠，，，

∴，，

在中，

，

，

在中，设，则，

∴，

∴即，

解得：，

即，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查矩形及折叠的性质、勾股定理的应用，理解题意，结合图形，熟练运用勾股定理是解题关键．

2．（2021·广东·松岗实验学校九年级期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（）

A． B． C．3 D．3.5

【答案】A

【解析】

【分析】

作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

【详解】

解：作EH⊥BD于H，

由折叠的性质可知，EG＝EA，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB＝BD＝AD＝6，

设BE＝x，则EG＝AE＝6﹣x，

在Rt△EHB中，BH＝x，EH＝x，

在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（6﹣x）2＝（x）2+（4﹣x）2，

解得，x＝，

∴BE＝，

故选：A．

【点睛】

此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键．

3．（2021·江苏姜堰·七年级期末）将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若＝10°，则∠EAF的度数为（）

A．40° B．45° C．50° D．55°

【答案】A

【解析】

【分析】

可以设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可得∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，用α，β表示∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，根据四边形ABCD是矩形，利用∠DAB＝90°，列方程10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，求出α+β＝30°即可求解．

【详解】

解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，

根据折叠性质可知：

∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，

∵∠B′AD′＝10°，

∴∠DAF＝10°+β，

∠BAE＝10°+α，