《工程数学》第7章 常微分方程 4 高阶线性微分方程.ppt

***********定理1*定理2*例4解设级数为方程的解,由初始条件得:因而将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得*即因而也即*故方程的解为*例5解将方程改写为易见,它满足定理2条件,且*代入得*得即*从而可得*因此上式变为*若取则可得另一个特解由达朗贝尔判别法,对任x值都收敛.*因而通解为象上面一样求得通解;因此,通解为*例6解代入方程得*代回原来的变量得原方程的通解为*******************高阶线性微分方程高阶线性微分方程解的结构高阶常系数线性微分方程的求解高阶变系数线性微分方程的求解*1、奇次方程一、高阶线性微分方程解的结构*2、非奇次方程*二、高阶常系数线性微分方程的求解1、常系数奇次线性微分方程的求解*A的特征方程为：*特征方程的根微分方程通解的对应项一个单实根对应一项一个k阶重根对应k项一对单复根对应两项一对k阶复根对应2k项*2、二阶常系数非奇次线性微分方程的求解待定系数法：*****高阶微分方程的降阶和幂级数解法一、换元法——Euler方程二、降阶法三、幂级数解法*一、Euler微分方程引入变量替换将Euler方程化为常系数线性微分方程*二、可降阶的一些方程类型n阶微分方程的一般形式:1不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是若能求得(1’)的通解对上式经过k次积分,即可得(1)的通解即*解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解即第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解*解令则方程化为这是一阶方程,其通解为即有对上式积分4次,得原方程的通解为例1*2不显含自变量t的方程,一般形式:因为*用数学归纳法易得:将这些表达式代入(2)可得:即有新方程它比原方程降低一阶*解题步骤:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解*解令则方程化为从而可得及这两方程的全部解是例2再代回原来变量得到所以得原方程的通解为*3已知齐线性方程的非零特解,进行降阶的非零解令则代入(3)得即*引入新的未知函数方程变为是一阶线性方程,解之得因而则*因此(3)的通解为*解题步骤:第一步:第二步:解之得即*第三步:第四步:(3)的通解为注一般求(3)的解直接用公式(*)*解这里由(*)得例3*代入(4)得*事实上*若则即*三、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.下面考虑该方程及初始条件用级数表示解?******************************