专题24 二次函数与几何图形综合题（与圆有关问题）（解析版）.docxVIP

专题24二次函数与几何图形综合题（与圆有关问题）

1．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．

??

(1)求直线及抛物线的表达式；

(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．

【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为；(2)存在，点M的坐标为或或；(3)

【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；

（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；

（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．

【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，

∴，

将代入直线，得，

解得，

∴直线的解析式为；

将代入，得

，解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）存在点，

∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．

∴当时，，

∴，

①当时，

设直线的解析式为，将点A坐标代入，

得，

解得，

∴直线的解析式为，

解方程组，

得或，

∴点M的坐标为；

②当时，

设直线的解析式为，将代入，

得，

解得，

∴直线的解析式为，

解方程组，

解得或，

∴点M的坐标为或

综上，点M的坐标为或或；

（3）如图，在上取点，使，连接，

∵，

∴，

∵，、

∴，

又∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，

∵，

∴，

∴的最小值为．

??

【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．

2．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数的图像与轴分别交于点（点A在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图像上，其横坐标大于4，连接，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．

????

(1)求点的坐标；

(2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求长的取值范围．

【答案】(1)；(2)或或

【分析】（1）令求得点的横坐标即可解答；

（2）由题意可得抛物线的对称轴为，设，则；如图连接，则，进而可得切线长为边长的正方形的面积为；过点P作轴，垂足为H，可得；由题意可得，解得；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答即可．

【详解】（1）解：令，则有：，解得：或，

∴．

（2）解：∵抛物线过

∴抛物线的对称轴为，

设，

∵，

∴,

如图：连接，则，

∴，

∴切线为边长的正方形的面积为，

过点P作轴，垂足为H，则：，

∴

∵，

∴，

????

假设过点,则有以下两种情况：

①如图1：当点M在点N的上方，即

????

∴，解得：或，

∵

∴；

②如图2：当点M在点N的上方，即

??

∴，解得：，

∵

∴；

综上，或．

∴当不经过点时，或或．

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．

3.（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值：

x

…

0

1

2

3

…

y

…

0

3

4

3

0

…

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求的最小值；

（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作轴，垂足为F，的外接圆与相交于点E．试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

【答案】（1）；；（2）；（3）是，1．

【分析】

（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；

（2）利用平移和找对称点的方式，将的长转化为，再利用两点之间线段最短确定的最小值等于CE的长，加1后即能确定的最小值；

（3）设出圆心和D点的坐标，接着表示出E点的坐标，利用圆心到B点的距离等于圆心到D点的距离，求出q和e的关系，得到E点的纵坐标，进而确定EF的长为定值．

【详解】

解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）

设抛物线解析式为：，

将点（0,3）代入解析式得：3=a+4，

∴，

∴抛物线解析式为：，顶点坐标．

（2）由表格可知，抛物线经过点A（-1,0），C（0,3），

如图3，将A点向上平移一个单位，得到，

则

∴四边形是平行四边形，

∴，

作关于MQ的对称点E，则

∴，