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2023-2024年第二学期高一年级4月期中摸底调研
数学学科
（总分：150分；考试时长：120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设（其中为虚数单位），若为纯虚数，则实数（▲）
A． B． C． D．
2．若，则（▲）
A． B． C． D．
3．已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（▲）
A．3 B． C． D．
4．已知，则（▲）
A． B． C． D．
5．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示：在黄金角形ABC中，，根据这些信息，可求得的值为（▲）
A． B． C． D．
6．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（▲）
A． B． C． D．
7．在中，，则（▲）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，则△ABC面积的最大值是（▲）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列关于平面向量的说法中正确的是（▲）
A．已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得
B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C．若且，则
D．若点为的重心，则
10．已知i为虚数单位，以下说法正确的是（▲）
A．
B．复数的虚部为2
C．复数在复平面对应的点在第一象限
D．为纯虚数，则实数
11．由倍角公式可知，可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式（，，…，），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（▲）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．定义一种运算如下：，则复数的共轭复数是▲．
13．已知，则▲，▲.
14．已知非零向量，，对任意实数，恒成立，则的取值范围是▲．
四、解答题：解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知向量，.
(1)求与夹角的余弦值；
(2)若，求的值.
16．在①；②复平面上表示的点在直线上；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：
已知复数；（为虚数单位），满足.
（1）若，求复数以及；
（2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值
17．在中，角，，所对的分别为，，．向量，，且．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积
18．重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄（如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为（即）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长且点，落在小路上，记弓形花园的顶点为，且，设.
????
（1）将，用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即，长度），才使得喷泉与山庄距离即值最大？
19．设正的边长为为的外心，为边上的等分点，为边上的等分点，为边上的等分点.
(1)当时，求的值；
(2)当时.
（i）求的值（用表示）；
（ii）求的最大值与最小值.
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．A 7．B 8．C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．AD 10．AD 11．BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12．
13．2/
14．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）解：由向量，，可得，且，
所以与夹角的余弦值.
（2）解：由，
可得，
即，解得.
16．选条件①：.
因为，所以，
解得，又，所以；
选条件②：复平面上表示的点在直线上.
因为，
所以，其表示的点为，
有，解得；
选条件③：.
因为，所以，
所以，解得.
(1)，；
(2)是实系数一元二次方程的根，
则也是该方程的根，所以m=-(+)=.
17．（1）因为，，且，
所以，
由正弦定理，得，
又，，从而，
因为，所以.
（2）由余弦定理，得，
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