专题19 二次函数中定值、定点问题（解析版）.docxVIP

二次函数中定值、定点问题

解题思路：

二次函数中的定值定点问题通常涉及到二次函数在特定点或特定条件下的性质。

这类问题一般会要求找出某个特定的值（定值）或某个特定的点（定点），使得二次函数满足某种条件。

解决这类问题的一般步骤是：

1.根据题目条件，设出二次函数的一般形式。

2.利用题目给出的条件（如定点、定值等），建立方程或不等式。

3.解方程或不等式，找出满足条件的值或点。

1．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）探究函数的图象和性质，探究过程如下：

??

(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下

其中，________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；

(3)在图2中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点．当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

【分析】（1）把代入解析式，求出的值即可，描点，连线画出函数图形，根据图形写出一条性质即可；

（3）根据题意，求出抛物线的顶点坐标，点的坐标，进而求出直线的解析式，设直线的解析式为，联立抛物线的解析式，根据两个图象只有一个交点，得到，得到，分别联立直线和直线的解析式，求出的坐标，利用锐角三角形函数求出的长，再进行求解即可得出结论．

【详解】（1）解：当时，，

∴，

根据题干中的表格数据，描点，连线，得到函数图象，如下：

由图象可知：图象关于轴对称；

故答案为：．

（3）是定值；

∵，当时，，解得：，

∴对称轴为直线，顶点坐标为，，

∵点是点关于抛物线顶点的对称点，

∴，

设直线的解析式为，把代入，得：，

∴，

设直线的解析式为，

则：，解得：，

∴，

设直线：，

联立和，得：，

∵直线与抛物线只有一个交点，

∴，

∴，

联立，，得：，

联立，，得：，

如图：∵关于对称，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

过点作，过点作，

则：，

∴，

∴

；

∴与的和为定值：．

2．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点、，其中点的横坐标为，点的横坐标为1，抛物线过点、．过作轴交抛物线另一点为点．以、长为边向上构造矩形．

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．

①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；

③抛物线与边、分别相交于点、，点、在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．

【答案】(1)

(2)①；②；③或

【分析】（1）根据题意得出点，，利用待定系数法求解析式即可求解．

（2）①根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，即可求解．

②根据题意得出，，求得中点坐标，根据题意即可求解．

③作辅助线，利用勾股定理求得，设出点，点坐标，将点代入，求得点坐标，进而根据点的对应点落在抛物线上，即可求解．

【详解】（1）根据题意，点的横坐标为，点的横坐标为1，代入抛物线，

当时，，则，

当时，，则，

将点，代入抛物线，

，

解得，

抛物线的解析式为．

（2）①轴交抛物线另一点为，

当时，，

，

矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．

，，

整理得，

，，

，

；

②如图，

??

，，

，

，

，

由①可得，，

，的横坐标为，分别代入，，

，，

，

的中点坐标为，

点为线段的中点，

，

解得或（大于4，舍去）．

③如图，连接，过点作于点，

??

则，

，

，

设，则，，

将点代入，

得，

解得，

当，，

，

将代入，

解得，

或．

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握二次函数的性质以及掌握复杂运算属于中考压轴题．

3．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标；

(3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标．

【答案】(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）利用待定系数法求解；

（2）根据直角三角形三角函数值可得，，进而可得的周长，结合已知条件可得，设，则，，从而可得方程，解方程即可；

（3）先求出，，设，过点M作轴