2025届新高三数学精准冲刺复习均值不等式中的换元法及“1”的代换.pptxVIP

2025届新高三数学精准冲刺复习均值不等式中的换元法及“1”的代换

均值不等式中的换元法及“1”的代换均值不等式作为高中数学的重要内容，相关问题自然是高考的热点之一，与此综合的知识主要有二次函数、二次方程、不等式、逻辑用语、圆锥曲线的最值等方面。处理此类问题时，作出适当的换元进行转化尤为重要，即将多元转化为少元；将复杂问题转化为简单问题；将分散的变量进行集中。换元法作为一种非常重要的数学方法，时常与“1”的代换相伴相随、合力转化，勾画出数学上一道亮丽的风景，可以肯定地说换元法是解决均值不等式问题的一大法宝。均值不等式中的换元包括：多项式换元、无理式换元、三角函数换元、分式换元等，相关题型较多，覆盖面较广。这里，主要探究均值不等式、换元法与“1”的代换呈现的问题及结论，其他问题在后面的跟踪练习中有一定体现。a0,b0,且a+2b=5,求的最小值。如：对于这种类型题，令a+1=m,b+2=n进行换元转化为“m0,n0,且m+2n=10,求的最小值”。求的最小值。再如：a0,b0,且对于这种类型题，若令a+1=m,b+2=n直接进行换元，虽然求解式中的分母得到简化，但是已知式中的分母将同时变得复杂，故这种操作不可取。最好的方法是，先将求解式变为后，再令进行换元，转化为“m0,n0,且m+n=3,求的最小值”。

例1.已知实数x,y满足：xy0,3x-y=2，求的最小值。解析：(将分母换元）令x+y=m,x-y=n;则：由3x-y=2，得m+2n=2（m0,n0).当且仅当时，取“=”；又m0,n0,∴m=2n且m+2n=2.即当m=1,也就是时取得最小值4.解析：由x+y4,得：由x0,y0，得当且仅当时，取“=”；又x0,y0,∴x=y=2；也就是x=y=2时，取得最小值1.例2.已知实数x0,y0,满足：x+y4,求的最小值。≤

解析：(将分母变形后换元）令：则2(m-1)+3（n-1）=1，即2m+3n=6；又m0,n0,m=n,2m+3n=6,得即当a=5,b=5时，取得最小值3.已知。（1）若求的最小值。（2）若求的最小值。解析（将分母变形后换元）：由得令：则2(1-m)+3（1-n）=1，即2m+3n=4(m0,n0)；当且仅当时，取“=”；又m0,n0,m=n,2m+3n=4,得即当a=5,b=5时，取得最小值当且仅当时，取“=”；

当且仅当时，取“=”；又m0,n0,m=n,2m+3n=6,得即当a=5,b=5时，