考研数学二解答题专项强化真题试卷29(题后含答案及解析).docVIP

考研数学二解答题专项强化真题试卷29(题后含答案及解析)

题型有：1.

1．设，其中f(u)具有二阶导数，且f(u)≠0，求

正确答案：

2．设线性方程组与方程(2)：x1+2x2+x3=a一1有公共解，求a的值及所有公共解。

正确答案：将方程组和方程合并，可得线性方程组对其增广矩阵作初等行变换，显然，当a≠1且a≠2时无公共解。当a=1时，可求得公共解为ξ=k(1，0，一1)T，k为任意常数。当a=2时，可求得公共解为ξ=(0，1，一1)T。

解析：把两个线性方程组联立，公共解就是联立之后的线性方程组的解。

3．从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度ν之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为κ(κgt;0)．试建立y与ν所满足的微分方程，并求出函数关系式y=f(ν)．

正确答案：涉及知识点：常微分方程

4．

正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学

5．(2002年)已知矩阵A＝[α1α2α3α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1＝2α2－α3．如果β＝α1＋α2＋α3＋α4，求线性方程组Aχ＝β的通解．

正确答案：令χ＝，则由Aχ＝[α1α2α3α4]＝β得χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＋χ4α4＝α1＋α2＋α3＋α4将α1＝2α2－α3代入上式，整理后得(2χ1＋χ2－3)α2＋(－χ1＋χ3)α3＋(χ4－1)α4＝0由α2，α3，α4线性无关，得解此方程组，得涉及知识点：线性方程组

6．(2012年试题，三)求函数的极值．

正确答案：由于fx’(x，y)=(1一x2)令fx’=0,fy’=0，得函数f(x，y)的驻点为(1，0)，(一1，0)．将(1，0)代入上面的A，B，C，中，得所以(1，0)是函数的极大值点，极大值为将(一1，0)代入，B2一AC=一2e-1涉及知识点：一元函数微分学

7．(1998年试题，五)利用代换y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解

正确答案：题设所给方程为变系数方程，可由代换将其化为关于u的二阶微分方程再求解，应先由求得y’，y’’与u’，u’’的关系如下，将y=usecx两边对x求导，得y’=u’8ecx+secx.tanx，(1)再由(1)式两边对x求导，得y’’=u’’secx+2u’se’cx.tanx+usecx.tan2x+usec3x(2)将式(1)，式(2)代入原方程，得u’’+4u=ex，该方程是关于u的二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程λ2+4=0求得特征值为λ1=2i，λ2=一2i，从而齐次方程通解为y=C1cos2x+C2sin2x，设方程特解为y*=Aex，代回方程u’’+4u=ex，得因此，因此非齐次方程通解为其中C1，C2为任意常数．由代换原方程通解为

解析：本题在化简原方程时，也可由代换u=ycosx两边对x求导，得u’=y’cosx—ysinx，(3)再由式(3)两边对x求导，得u’’=y’’cosx一2y’sinx—ycosx(4)式(3)，式(4)与式(1)，式(2)是等价的，代入原方程都可得出同样的方程u’’+4u=ex知识模块：微分方程

8．已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x－1)y”－(2x+1)y’+2y=0的解，若u(－1)=e，u(0)=－1，求u(x)，并写出该微分方程的通解。

正确答案：由已知得y’2=u’(x)ex+u(x)ex=[u’(x)+u(x)]ex，y”2=ex[u”(x)+2u’(x)+u(x)]，所以(2x－1)ex[u”(x)+2u’(x)+u(x)]－(2x+1)[u’(x)+u(x)]ex+2u(x)ex=0，化简可得u”／u’=，即(lnu’)’=，两边对x求积分得lnu’(x)=－∫dx=ln|2x－1|+lne－x+lnC1，即u’=C1(2x－1)e－x。上式两端再次积分得u(x)=C1∫(2x－1)e－xdx=C1(－2x－1)e－x+C2，将u(－1)=e，u(0)=－1代入上式得C1=1，C2=0，故u(x)=－(2x+1)e－x。因此，原方程的通解为y(x)=D1y1(x)+D2y2(x)=D1ex－D2(2x+1)，其中D1，D2为任意常数。涉及知识点：常微分方程

[2011年]一容器