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向量与三角形四心的关系

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三角形中的“四心”的向量表示

安徽省合肥168中学卢业向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。

使用向量的第一步，是要在图中指定基向量（基底），这组基底一般是线性无关的。一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中，以此为依据而进行计算。在确定点的位置时，经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决;在处理垂直关系，长度关系及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决。

一、线共点问题。解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。=

例1、用向量法求证：△ABC的三条高共点.

分析：得BC与AC边上的高AD与BE交于H，连接CH，只要证明CH⊥AB即可。因此，关键是选好基向量.

设，，，则

由⊥，⊥得

∴⊥，同理，得证。

类似方法，还可以证明：

（1）三角形的三条内角平分线交于一点。

(2)三角形的三条中线交与一点。

二、三角形的四心——重心、垂心、外心、内心的向量表示

例2、已知O是△ABC所在平面内一点，若，则点O是△ABC的重心。

分析：利用及加法的平行四边形法则可证。

拓展：若，λ∈(0，+∞)，则点P的的轨迹一定是△ABC的_______心。(重心)

例3、已知O是△ABC所在平面内一点，若·=·=·，则点O是△ABC的垂心。

分析：·=·得·==0，∴OB⊥AC

同理⊥，⊥可证。

拓展1：已知O是△ABC平面上一定点，若=+λ，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的_______心。

分析：=λ，

由于·=0，

∴⊥，∴动点P一定过△ABC的垂心。

拓展2：点O是△ABC所在平面内一点，满足，则点O是△ABC的______心。

分析：得

·2=0，即·=0，∴⊥

同理可证：⊥，⊥，故O为垂心。

【例4】已知O是△ABC所在平面上一点，若a、b、c是角A、B、C的所对边的边长，且，则O是△ABC的______心。

分析：联系重心向量式的证明方式，取、为基向量，则=－，=－，故=+，=+，将其代入中得到（a+b+c）+b+c=，

即=

又，故

由和分别是与，同向的单位向量和，则（+）∥，故AO平分∠BAC，同量，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，故O是△ABC的内心。

下面证明这个定理：

设则

有平面向量的平行四边形法则知，

作∽

,

同理，

.

同理，.

易证：①当点M是重心G时，.

②当点M是垂心H时,

③当点M是外心O时，

④当点M是内心I时，故定理得证.

四、三角形“四心”的综合问题

例6、已知点O是△ABC所在平面内一定点，且++=，当点P在何位置时，的值最小。

分析：==－·=,

故当点P是△ABC的重心O时，所求值最小。

例7.已知O为△ABC的外心，H为垂心，求证：

分析：如图，作直径BD，连DA、DC，有

拓展：1.求证：△ABC的外心O，垂心H,重心G三点共线，且OG:GH=1:2.

分析：有上题知

拓展2..已知△ABC不是直角三角形，点O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心.△ABC满足什么条件，有AH=OA.

分析：由于AH=OA,则AH=OA=R，

当A是锐角时，=2A,当A为钝角时，

上面每一步可以逆推，

以上从三角形“四心”方面体现了向量与几何的密切联系，即向量概念引入后，全等、平行（平移）、相似和垂直等几何关系就可转化为向量的加（减）法，数乘向量，数量积的运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。理解平面向量及其运算的定义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，从而发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。