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考点21双曲线(核心考点讲与练)
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a0,c0:
(1)若ac时,则集合P为双曲线;
(2)若a=c时,则集合P为两条射线;
(3)若ac时,则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
eq\f(x2,a2)-eq\f(y2,b2)=1(a0,b0)
eq\f(y2,a2)-eq\f(x2,b2)=1(a0,b0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
x∈R,y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±eq\f(b,a)x
y=±eq\f(a,b)x
离心率
e=eq\f(c,a),e∈(1,+∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a,b,c的关系
c2=a2+b2
1.(1)在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线,还是双曲线的一支.若是双曲线的一支,则需确定是哪一支.
(2)在“焦点三角形”中,正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点.另外,还经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立它与|PF1||PF2|的联系.
2.与双曲线几何性质有关问题的解题策略
在研究双曲线的性质时,实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e=是一个比值,故只需根据条件得到关于a,b,c的一个关系式,利用b2=c2-a2消去b,然后变形求e,并且需注意e>1.
3.圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时,这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段),线段的长就是弦长.
(2)圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==|x1-x2|=·|y1-y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|=x1+x2+p=,θ为弦AB所在直线的倾斜角).
双曲线的定义
一、单选题
1.(2022·广东潮州·二模)若点P是双曲线上一点,,分别为的左、右焦点,则“”是“”的(???????).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(2022·天津河西·一模)已知双曲线的左、右焦点分别为、,c是双曲线C的半焦距,点A是圆上一点,线段交双曲线C的右支于点B,,,则双曲线C的离心率为(???????).
A. B. C. D.
3.(2022·辽宁沈阳·二模)已知双曲线的两个焦点为、,点M,N在C上,且,,则双曲线C的离心率为(???????)
A. B.
C. D.
4.(2022·湖南永州·三模)已知双曲线的左、右焦点分别为、,为坐标原点,点在双曲线的右支上,(为双曲线的半焦距),直线与双曲线右支交于另一个点,,则双曲线的离心率为(???????)
A. B. C. D.
二、多选题
5.(2022·山东泰安·二模)已知双曲线C:的离心率为,且其右顶点为,左,右焦点分别为,,点P在双曲线C上,则下列结论正确的是(???????)
A.双曲线C的方程为
B.点A到双曲线C的渐近线的距离为
C.若,则
D.若,则的外接圆半径为
6.(2022·河北唐山·二模)双曲线具有如下光学性质:如图,是双曲线的左、右焦点,从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P,经双曲线反射后,反射光线n的反向延长线过左焦点.若双曲线C的方程为,下列结论正确的是(???????)
A.若,则
B.当n过时,光由所经过的路程为13
C.射线n所在直线的斜率为k,则
D.若,直线PT与C相切,则
7.(2022·重庆八中模拟预测)已知点,,若某直线上存在点P,使得,则称该直线为“好直线”,下列直线是“好直线”的是(???????)
A. B. C. D.
三、填空题
8.(2022·辽宁葫芦岛·一模)已知双曲线G的方程,其左、右焦点分别是,,已知点P坐标为,双曲线G上点,满足,则______.
四、解答题
9.(2022·全国·模拟预测)双曲线的左、右焦点分别为,,焦距等于8,点M在双曲线C上,且,的面积为12.
(1)求双曲线C的方程;
(2)双曲线C的左、右顶点分别
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