有理数域上不可约多项式.pdfVIP

本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如

何求Q上多项式的有理根，由于与在

上的可约性相同。因此讨论在Q

性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。

一、整系数多项式的可约性

定义1（本原多项式）：

若整系数多项式的系数互素，则称

是一个本原多项式。

例如：

是本原多项式。

本原多项式的加、减运算所得的未必是

本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。

引理（高斯定理）：

两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。

证：设

都是本原多项式

若不是本原多项式，则存在素数p，使

由于都是本原多

项式，故的系数不能都被p整除，的系数

也不能被p整除，

可设但

但

现考虑

除了这一项外，p能整除其余各项，

因此这是一个矛盾，

故是本原多项式。

定理1：一个整系数n（n0）次多项式

在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。

证：充分性显然。

下证必要性。

设可分解成中两个次数都小于n的

多项式与的乘积，即有

设的系数的公分母为m，则是

一个整系数多项式，把系数的公因式n

提出来，是本原多项式，

即

同理，存在有理数S，使

也是本原多项式，

于是

下证是一个整数，

设（p,q互素且p0），

由于是整系数多项式，

故p能整除q与的每一系数的乘积，

而p,q互素，故p能整除的每一系数，

但由引理1知，是本原多项式，

故p=1，从而rs是一个整数。

问题

C上不可约多项式只能是一次，R上不可约多项

式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式，Q上

不可约多项式的特征是什么？下面的Eisenstein的判

别法回答了这个问题。

定理2（Eisenstein判别法）：

设是整系数多项式，

若存在素数p，使①

②

③

则在Q上不可约。

证（反证法）：

若在Q上可约在Z上可约，

即