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福建厦门灌口中学2024届高三第二次调研数学试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则
A. B.
C. D.
2.已知三棱柱()
A. B. C. D.
3.函数的定义域为()
A.或 B.或
C. D.
4.在区间上随机取一个数,使直线与圆相交的概率为()
A. B. C. D.
5.设过定点的直线与椭圆:交于不同的两点,,若原点在以为直径的圆的外部,则直线的斜率的取值范围为()
A. B.
C. D.
6.设为非零向量,则“”是“与共线”的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.下列函数中既关于直线对称,又在区间上为增函数的是()
A.. B.
C. D.
8.点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点,点为的中点,若满足,则动点的轨迹的长度为()
A. B. C. D.
9.在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10.已知集合,,,则的子集共有()
A.个 B.个 C.个 D.个
11.已知集合A={x|x1},B={x|},则
A. B.
C. D.
12.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查,利用列联表,由计算得,参照下表:
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
得到正确结论是()
A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”
B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”
C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星无关”
D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星有关”
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知x,y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,则
14.已知F为双曲线的右焦点,过F作C的渐近线的垂线FD,D为垂足,且(O为坐标原点),则C的离心率为________.
15.如图,在平面四边形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,则(AB
16.已知函数,令,,若,表示不超过实数的最大整数,记数列的前项和为,则_________
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)函数,若对于,使得成立,求的取值范围.
18.(12分)已知,点分别为椭圆的左、右顶点,直线交于另一点为等腰直角三角形,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于两点,总使得为锐角,求直线斜率的取值范围.
19.(12分)已知
(1)若,且函数在区间上单调递增,求实数a的范围;
(2)若函数有两个极值点,且存在满足,令函数,试判断零点的个数并证明.
20.(12分)如图,已知椭圆C:x24+y2=1,F为其右焦点,直线l:y=kx+m(km0)与椭圆交于P(x1
(I)试用x1表示|PF|
(II)证明:原点O到直线l的距离为定值.
21.(12分)已知集合,,,将的所有子集任意排列,得到一个有序集合组,其中.记集合中元素的个数为,,,规定空集中元素的个数为.
当时,求的值;
利用数学归纳法证明:不论为何值,总存在有序集合组,满足任意,,都有.
22.(10分)设函数.
(1)解不等式;
(2)记的最大值为,若实数、、满足,求证:.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
因为,,所以,,故选D.
2、C
【解析】
因为直三棱柱中,AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R==13,即R=
3、A
【解析】
根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式,即可解得函数的定义域.
【详解】
由题意可得,解得或.
因此,函数的定义域为或.
故选:A.
【点睛】
本题考查具体函数定义域的求解
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