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福建省安溪第八中学2024届高三第五次模拟考试数学试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.△ABC中,AB=3,,AC=4,则△ABC的面积是()
A. B. C.3 D.
2.已知三棱锥中,为的中点,平面,,,则有下列四个结论:①若为的外心,则;②若为等边三角形,则;③当时,与平面所成的角的范围为;④当时,为平面内一动点,若OM∥平面,则在内轨迹的长度为1.其中正确的个数是().
A.1 B.1 C.3 D.4
3.已知条件,条件直线与直线平行,则是的()
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.设函数,则使得成立的的取值范围是().
A. B.
C. D.
5.是定义在上的增函数,且满足:的导函数存在,且,则下列不等式成立的是()
A. B.
C. D.
6.已知是函数图象上的一点,过作圆的两条切线,切点分别为,则的最小值为()
A. B. C.0 D.
7.执行如图所示的程序框图,则输出的的值是()
A.8 B.32 C.64 D.128
8.已知,则()
A. B. C. D.
9.若,则()
A. B. C. D.
10.已知点P在椭圆τ:=1(ab0)上,点P在第一象限,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设,直线AD与椭圆τ的另一个交点为B,若PA⊥PB,则椭圆τ的离心率e=()
A. B. C. D.
11.已知i是虚数单位,则1+ii
A.-12+32i
12.已知平面向量,,满足:,,则的最小值为()
A.5 B.6 C.7 D.8
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设函数,,其中.若存在唯一的整数使得,则实数的取值范围是_____.
14.各项均为正数的等比数列中,为其前项和,若,且,则公比的值为_____.
15.在平面直角坐标系中,若双曲线(,)的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为________.
16.若点为点在平面上的正投影,则记.如图,在棱长为1的正方体中,记平面为,平面为,点是线段上一动点,.给出下列四个结论:
①为的重心;
②;
③当时,平面;
④当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的表面积为.
其中,所有正确结论的序号是________________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具,现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁,其纵截面如图2所示,一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置(图中给出的数据是圆管内壁直径大小,).
(1)请用角表示清洁棒的长;
(2)若想让清洁棒通过该弯头,清洁下一段圆管,求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.
18.(12分)如图,在四棱锥中,底面,底面是直角梯形,为侧棱上一点,已知.
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
19.(12分)设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若对恒成立,求的取值范围.
20.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如下:
等级
不合格
合格
得分
频数
6
24
(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;
(2)其他条件不变,在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈,每次抽取1人,求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下,第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率;
(3)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为,求的数学期望.
21.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每
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