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专题04幂函数、指数函数和对数函
专题04幂函数、指数函数和对数函数
复习与检测
学习目标
1.幂函数的概念及其在内的单调性。
2.指数函数及其性质,
3.掌握幂函数的定义域及其性质,特别是在内的单调性会画幂函数的图像,4.掌握指数函数的图像及其性质。
知识梳理
重点1
1.幂函数的定义:一般地,函数叫做幂函数。
2.指数函数的定义:一般地,函数叫做指数函数。其中x是自变量,函数的定义域是R.幂函数与指数函数的形式一定要区分开。
3.指数函数的性质:性质1.指数函数的函数值恒大于零.性质2.指数函数的图像经过点(0,1).性质3.函数(1)在内是增函数;函数(01)在内是减函数.
重点2
①幂函数的定义域由常数确定,但总有四种。当,幂函数是奇函数或偶函数,因此研究幂函数的性质,主要是研究幂函数在上的性质。当是增函数;当上是减函数,幂函数的图像都经过。
②指数函数有些同学常会与幂函数混淆。
③换底公式
④函数的定义域是它的反函数的值域;函数的值域就是它的反函数的定义域。互为反函数的两个函数的图像关于直线对称。
⑤对数函数与指数函数互为反函数。⑥在解对数方程时必须对求得的解进行检验,因为在利用对数的性质将对数方程变形的过程中,如果未知数的允许值范围扩大,那么可能会产生增根。
例题分析
例1.能推断出函数在上为增函数的是()
A.若、且,则
B.若、且,则
C.若、且,则
D.若、且,则
【答案】D
【详解】
对于A选项,若、且,则且,
则函数在上为增函数,A选项不满足条件;
对于B选项,若、且,则且,
则函数在上为减函数,B选项不满足条件;
对于C选项,若、且,无法判断与的大小,C选项不满足条件;
对于D选项,若、且,则,且、,
因为,故函数为上的增函数,D选项满足条件.
故选:D.
例2.若实数满足,则()
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
解:设,则,
设,,
作出函数的图像,如图所示,
由图可得,所以,
故选:B
跟踪练习
1.已知函数则()
A. B. C. D.
2.对数的创始人约翰·奈皮尔(JohnNapier,1550—1617)是苏格兰数学家.直到18世纪,瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.人们才认识到指数与对数之间的天然关系.对数发现前夕,随着科技的发展,天文学家做了很多的观察,需要进行很多计算,而且要算几个大数的连乘,往往需要花费很长时间.基于这种需求,1594年,奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法.现在随着科学技术的需要,一些幂的值用数位表示,譬如,所以的数位为4(一个自然数效位的个数,叫做数位).则的数位是()
(注)
A.6679 B.6680 C.6681 D.6682
3.设D是的一个子集,称函数为“机智”的,若存在奇函数,使得,有两个命题:①若对任意,都成立,,则是“机智”的;②若对任意,都成立,则是“机智”的;则下列判断正确的是()
A.①是真命题,②是假命题
B.①是假命题,②是真命题
C.①?②都是假命题
D.①?②都是真命题
4.若,则的定义域是()
A.R B. C. D.
5.某果农借助一平台出售水果,为了适当地给鲜杏保留空气呼吸,还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞,同时还要在鲜杏中间放上冰袋,来保持泡沫箱内部的温度稳定,这样可以有效延长水果的保鲜时间.若水果失去的新鲜度与其采摘后时间(小时)满足的函数关系式为.若采摘后20小时,这种杏子失去的新鲜度为10%,采摘后40小时,这种杏子失去的新鲜度为20%.在这种条件下,杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度()(已知,结果取整数)
A.42小时 B.53小时 C.56小时 D.67小时
6.若函数.则()
A. B. C. D.
7.已知函数是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若对于任意x恒成立,求实数b的取值范围.
8.最近,考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据,科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代,已知某放射性元素的半衰期约为年(即:每经过年,该元素的存量为原来的一半),已知古生物中该元素的初始存量为(参考数据:).
(1)写出该元素的存量与时间(年)的关系;
(2)经检测古生物中该元素现在的存量为,请推算古生物距今大约多少年?
9.设为给定的实常数,若函数在其定义域内存在实数,使得成立,则称函数为“函数”.
(1)若函数为“函数”,求实数的值;
(2)若函数为“函数”,求实数的取值范围;
(3)已知()为“函数”,设.若对任意的,当时,都有成立,求实数的最大值.
10.设函数的反函数为.
(1)解方程:;
(2)设是定义在上且以为周期的奇函数.当时,,试求的值.
参考答案
1.C
【详解】
由题
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