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高阶显式单步法构造方法
Runge-Kutta方法
基本思想:利用在某些点上的斜率的加权平均
作为来构造。
N级(阶)Runge-Kutta方法的一般形式:
其中
N=1:Euler方法
当N1时,适当选取式中参数,使该方法的阶数尽量高
二级方法:N=2
代入2(阶)Runge-Kutta方法的形式:
在点(x,y)处展开得:
nn
比较两式,得
方程组有无穷多解:二级方法有无穷多种
常见的3种二级方法:
中点法(修正的Euler法)取
Runge-Kutta二级方取
法
Heun(休恩)二级方法要求项的系数尽量相同
四级方法:N=4局部截断误差
常见的2种四阶方法:
经典Runge-Kutta方法Kutta四阶方法(见教材)
例2:用经典的Runge-Kutta方法
求解下列初值问题。
解:经典的四阶Runge-Kutta公式:
0.10.20.30.40.5
1.09541.18321.26491.34161.4142
0.60.70.80.91.0
1.48321.54921.61251.67331.7321
同保留5位的精确值完全一致:
0.10.20.30.40.5
1.09541.18321.26491.34161.4142
0.60.70.80.91.0
1.48321.54921.61251.67331.7321
二、变步长方法
基本思想:根据精度自动地选择步长
对于经典Runge-Kutta方法:
Step1:设从出发,为步长,经过一步计算得到
Step2:取为步长,再从出发,经过两步计算得到
记
如果,则将步长折半进行计算,直到为止
此时取为最终结果;
如果,则将步长加倍进行计算,直到为止
此时将步长折半一次计算,得到的为最终结果。
§5.4单步法的收敛性与稳定性
一、收敛性/*Convergence*/
对于初值问题的一种
单步法产生的近似解,如果
对于任一固定的,均有
则称该单步法是收敛的。
类似地可以定义隐式单步法、多步法的收敛性
二、绝对稳定性/*AbsoluteStibility*/
计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响
首先以Euler公式为例,来讨论一下舍入误差的传播:
设实际计算得到的点的近似函数值为,
其中为精确值,为误差
如果,则误差是不增的,故可认为是稳
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