考点38 直线与圆锥曲线的位置关系-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）.docxVIP

考点38直线与圆锥曲线的位置关系

【命题趋势】

直线与圆锥曲线的综合应用问题（特别是一些经典问题，如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题）一直是高考热点问题．常常与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解答题形式出现，难度较大．

【重要考向】

本节通过圆锥曲线的综合应用考查数学运算、逻辑推理等核心素养．

直线与圆锥曲线位置关系

方法策略：

判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.

【典例】

1．若斜率为的直线与双曲线，恒有两个公共点，则双曲线的离心率的取值范围（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点可得渐近线的斜率大于，由此可求离心率的范围.

【详解】∵斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，

∴，∴，∴双曲线的离心率的取值范围是，

故选：D.

2．曲线Γ：，要使直线与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】根据曲线Γ的方程，得到曲线表示是一个圆与双曲线的一部分，画出曲线的图象，结合图象，即可求解.

【详解】由曲线Γ：，可知，

如图所示，曲线表示是一个圆与双曲线的一部分，

由，解得，要使直线与曲线Γ有四个不同的交点，

结合图象，可得.

故选：C．

圆锥曲线的弦长

弦长的求解：

（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；

（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.

（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.

【典例】

3．设椭圆的离心率为，圆与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过圆O上任意一点做圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以MN为直径的圆过点O.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据椭圆的离心率为，得到，设椭圆的方程为，再根据圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为，得到点在椭圆上求解；

（2）当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，判断是否为零；当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，由直线与圆相切得到k，m的关系，再联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理证明即可.

【详解】（1）设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，，

∴椭圆的方程可设为.

易得，因为圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为，

所以点在椭圆上，

所以，解得，所以椭圆的方程为.

（2）当过点且与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为，

由（1）知：，，

则，，，

∴.

当过点且与圆相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为，

，，

因为直线与圆相切，

所以，即.

联立直线和椭圆的方程得，

∴，

所以.

∵，，

∴，

，，

，，

∴.

综上所述，圆上任意一点处的切线交椭圆于点，，都有.

4．已知抛物线上的动点P到直线的距离为d，A点坐标为，则的最小值等于（）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，得到动点P到直线的距离为，根据，即可求解.

【详解】抛物线化为，可得焦点，准线方程为，如图所示，可得动点P到直线l∶的距离为，

又由，从而.

所以的最小值等于.

故选：D.

圆锥曲线中的定点、定值问题

方法指导：

定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

【典例】

5．已知抛物线：的焦点是圆：与坐标轴的一个交点．

（1）求抛物线的方程．

（2）若，（，异于原点）为抛物线上的不同两点，且以为直径的圆过点，问直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【答案】（1）；（2）直线过定点．

【分析】（1）根据抛物线方程的特点，再求圆与轴正半轴的交点，即可根据焦点坐标，求得抛物线方程；（2）首先设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用，求得，结合韦达定理，即可求得直线所过定点.

【详解】解：（1）将代入，得，

所以圆与轴的两个交点分别为，．

依题意，解得，所以抛物线的方程为．

（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立并化简得，

则，可得．

设，，则，．

因为以为直径的圆过原点，所以，

所以，得．

所以，得．

所以直线的方程为．

因此，直线过定点．

1．已知F是椭圆=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），