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八年级下册数学《第十六章二次根式》
本章知识综合运用
二次根式有关概念
二次根式有关概念
●●1、二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”称为二次根号，a为被开方数.
●●2、代数式的定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.
●●3、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
●●4、可合并的二次根式概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式．
二次根式的有关性质
二次根式的有关性质
●●1、a的性质：a≥0；a≥0
●●2、（a）2（a≥0）的性质：
（a）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
●●3、a2的性质：a2=|a|
二次根式的相关运算
二次根式的相关运算
●●1、二次根式的乘除法
二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
用字母表示为：
（1）二次根式的乘法法则：a?b=a?b（a≥0，b
（2）积的算术平方根性质：a?b=a?b（a≥0，b
（3）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，
（4）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，
●●2、二次根式的加减法
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并.
合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变．
●●3、二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算．
（2）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．
题型一根据二次根式是整数求字母的取值
题型一根据二次根式是整数求字母的取值
【例题1】（2021春?德宏州期末）已知20-n是整数，则自然数n所有可能的值有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：由于20﹣n≥0，且n≥0，
∴0≤n≤20，
由于20-n是整数，
∴20﹣n＝0或1或4或9或16，
解得：n＝20或19或16或11或4，一共5个．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件．
解题技巧提炼
先通过二次根式的定义求出自然数n的范围，再由二次根式的性质确定20﹣n是一个完全平方数，最后通过分类讨论思想求出自然数的所有可能取的值.
【变式1-1】（2022春?温州期中）若12-n是整数，则满足条件的自然数n的值可以是（写出一个即可）．
【分析】先确定n的取值范围，再根据代数式是整式写一个满足题意的n即可．
【解答】解：∵12﹣n≥0，
∴n≤12，
∵12-n是整数，
∴当12﹣n＝1时，n＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【变式1-2】已知24n是整数，求正整数n的最小值．
【分析】根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．
【解答】解：∵24n是整数，n为正整数，
∴24n＝144，即n＝6，
则正整数n的最小值为6．
【点评】此题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
【变式1-3】已知18-n是整数，求自然数n所有可能的值；
【分析】根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；
【解答】解：∵18-n是整数，
∴18﹣n＝0，18﹣n＝1，18﹣n＝4，18﹣n＝9，18﹣n＝16，
解得：n＝18，n＝17，n＝14，n＝9，n＝2，
则自然数n的值为2，9，14，17，18；
【点评】此题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
题型二二次根式与绝对值的综合运用
题型二二次根式与绝对值的综合运用
【例题2】已知实数x满足|2017﹣x|+x-2018=x，求x﹣2017
【分析】由绝对值的性质和已知，先求出x的值，再计算20172的值．
【解答】解：∵实数x满足|2017﹣x|+x-2018=
∴x≥2018．
∴x﹣2017+x-2018=
即x-2018=2017
∴x﹣2018＝20172．
∴x＝20172+2018．
∴x﹣20172
＝20172+2018﹣20172
＝2018．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，掌握绝对值的意义、二次根式的性质是解决本题的关键．
解题技巧提炼
灵活利用二次根式的性质
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