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安徽定远县炉桥中学2024年高三下学期联考数学试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若,则下列关系式正确的个数是()
①②③④
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知双曲线的右焦点为,过的直线交双曲线的渐近线于两点,且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍,若,则该双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
3.已知定义在上的奇函数和偶函数满足(且),若,则函数的单调递增区间为()
A. B. C. D.
4.已知在中,角的对边分别为,若函数存在极值,则角的取值范围是()
A. B. C. D.
5.设复数,则=()
A.1 B. C. D.
6.已知,函数在区间上恰有个极值点,则正实数的取值范围为()
A. B. C. D.
7.设不等式组表示的平面区域为,若从圆:的内部随机选取一点,则取自的概率为()
A. B. C. D.
8.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.则下列结论中表述不正确的是()
A.从2000年至2016年,该地区环境基础设施投资额逐年增加;
B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多;
C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番;
D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额,根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为)建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型,根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.
9.在中所对的边分别是,若,则()
A.37 B.13 C. D.
10.函数的图象如图所示,为了得到的图象,可将的图象()
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
11.已知函数是上的减函数,当最小时,若函数恰有两个零点,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
12.的展开式中的项的系数为()
A.120 B.80 C.60 D.40
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________.
14.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛,有两人获奖.在比赛结果揭晓之前,四人的猜测如下表,其中“√”表示猜测某人获奖,“×”表示猜测某人未获奖,而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的,那么两名获奖者是_______.
甲获奖
乙获奖
丙获奖
丁获奖
甲的猜测
√
×
×
√
乙的猜测
×
○
○
√
丙的猜测
×
√
×
√
丁的猜测
○
○
√
×
15.在的展开式中,的系数为________.
16.若函数为自然对数的底数)在和两处取得极值,且,则实数的取值范围是______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)设直线与抛物线交于两点,与椭圆交于两点,设直线(为坐标原点)的斜率分别为,若.
(1)证明:直线过定点,并求出该定点的坐标;
(2)是否存在常数,满足?并说明理由.
18.(12分)已知圆,定点,为平面内一动点,以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程
(2)过点的直线与交于两点,已知点,直线分别与直线交于两点,线段的中点是否在定直线上,若存在,求出该直线方程;若不是,说明理由.
19.(12分)如图,在三棱柱中,平面ABC.
(1)证明:平面平面
(2)求二面角的余弦值.
20.(12分)已知在中,角,,的对边分别为,,,的面积为.
(1)求证:;
(2)若,求的值.
21.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程是为参数),曲线的参数方程是为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线和曲线的极坐标方程;
(2)已知射线与曲线交于两点,射线与直线交于点,若的面积为1,求的值和弦长.
22.(10分)某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖.如图,该弓形所在的圆是以为直径的圆,且米,景观湖边界与平行且它们间的距离为米.开发商计划从点出发建一座景观桥(假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行),桥面在湖面上的部
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