变分法在最优控制中的应用.ppt

末态时刻固定、末态无约束的最优控制问题(9/12)下面讨论哈密顿函数的一个重要性质。哈密顿函数对时间t的全导数为考虑到规范方程,则有再考虑到极值条件?H/?u=0,于是哈密顿函数对时间t的全导数可表示为第20页,共47页，2024年2月25日，星期天末态时刻固定、末态无约束的最优控制问题(10/12)—例7上式表明,沿最优轨线哈密顿函数H对时间的全导数等于对时间的偏导数。因此,当哈密顿函数H不显含时间变量t时,则有H(t)=常数t?[t0,tf]例7已知被控系统为求最优控制u*(t)使如下性能指标泛函取极小。第21页,共47页，2024年2月25日，星期天末态时刻固定、末态无约束的最优控制问题(11/12)解这是一个具有tf固定,x(tf)自由的终端约束的极值问题。构造哈密顿函数如下,由极值条件?H/?u=0可解得u=-?。将其代入规范方程,可得并满足如下边界条件x(t0)=x0?(tf)=Cx(tf)从而解得第22页,共47页，2024年2月25日，星期天末态时刻固定、末态无约束的最优控制问题(12/12)式中，tf为某一确定的常数。将u*(t)代入哈密顿函数H得其中?(t)为常数。第23页,共47页，2024年2月25日，星期天末态时刻和末态固定的问题(1/5)3.3末态时刻和末态固定的问题对末态的要求不同将导致最优控制问题的结论不同。上面讨论了无末态约束的问题,这一小节将研究末态时刻tf和末态x(tf)固定的最优控制问题。由于末态时刻tf和末态x(tf)已固定,即x(tf)=xf,因此,性能指标泛函中的末值项S(x(tf),tf)就没有存在的必要。在这种情况下,最优控制问题的性能指标泛函为如下积分型泛函第24页,共47页，2024年2月25日，星期天末态时刻和末态固定的问题(2/5)因此,该最优控制问题描述如下。末态固定最优控制问题对于被控系统(51),始端状态(t0,x(t0))和末态(tf,x(tf))固定时的性能指标泛函(68)极小的最优控制问题。与前面的推导过程类似,考虑到末值项S(x(tf),tf)=0,辅助泛函J1可定义为就泛函J1而言,其宗量有以及u(t)和?(t)。前面已经指出,不必对宗量?(t)变分,因为对?(t)的变分结果就是系统状态方程。第25页,共47页，2024年2月25日，星期天末态时刻和末态固定的问题(3/5)因此,考虑到始端和末端固定,即?x(tf)=?x(t0)=0,泛函J1对其所有宗量的一阶变分为根据泛函极值的必要条件?J1=0,同样可以导出第26页,共47页，2024年2月25日，星期天末态时刻和末态固定的问题(4/5)当x(tf)固定,即?x(tf)=0时,虽然变分?u(t)不再是任意的。但x(tf)固定是相对的,其值的确定具有任意性,因此,末态x(tf)固定时的最优控制问题的极值条件仍然为同上一节末态时刻tf固定,末态x(tf)无约束的变分问题相比,边界条件在这里被取而代之的是x(tf)=xf。综合上述结论,有如下关于末态固定最优控制问题的定理。第27页,共47页，2024年2月25日，星期天末态时刻和末态固定的问题(5/5)—定理6定理6(末态固定最优控制问题)末态固定最优控制问题的最优控制函数u*(t)、最优状态轨线x*(t)和适当选择的拉格朗日乘子函数?(t)在边界条件x(t0)=x0x(tf)=xf下须满足规范方程以及极值条件第28页,共47页，2024年2月25日，星期天末态时刻固定、末态受约束的问题(1/10)3.4末态时刻固定、末态受约束的问题本小节讨论末态时刻tf固定,末态x(tf)受等式约束的最优控制问题。该问题可描述为如下：末态约束最优控制问题对于被控系统,末态时刻tf固定,末态x(tf)受等式g(x(tf),tf)=0约束,如下复合型性能指标泛函取极小的最优控制问题。第29页,共47页，2024年2月25日，星期天末态时刻固定、末态受约束的问题(2/10)所谓末态约束,即末态只允许在末端流形(73)上变化。上述约束条件中向量函数g(x(tf),tf)的维数为p,为使该最优控制问题的解存在,当性能指标泛函中L=0时,p?n-1;当L≠0时,p?n。上述最优控制问题与3.2所讨论的末态x(tf)无