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实验报告
实验工程名称椭圆型偏微分方程
实验室数学实验室
所属课程名称微分方程数值方法
实验类型算法设计
实验日期2014年6月6日
班级
学号
姓名
成绩
实验概述:
【实验目的及要求】
实验目的是通过分析Possion问题并用交替迭代法来求解其次边值问题,进一步了解交替迭代法的算法特点——即在矩形区域上的差分格式可以大大降低计算量。实验要求是利用Peaceman-Rachford迭代格式编写出相应的代码解决Possion问题。
【实验原理】
对于简单的椭圆型偏微分方程Poission方程:
采用正方形网格剖分正方形区域Ω,对x和y方向采用中心差分并记
那么对Poission方程离散后差分格式可写成;
改写为
由此得Peaceman-Rachford迭代格式为
其分量形式为
将以上两步写成矩阵形式,第一步迭代为:
第二步迭代为:
这里的gij和gij分别为
迭代参数可取为:
实际上每个迭代步相当于解N?1个系数矩阵为三对角阵的N?1阶线性代数方程组,可用追赶法求解。
【实验环境】〔使用的软硬件〕
软件:
MATLAB2012a
硬件:
电脑型号:联想Lenovo昭阳E46A笔记本电脑
操作系统:Windows8专业版
实验内容:
【实验方案设计】
利用Peaceman-Rachford迭代格式求解
求解域Ω:0≤x,y≤1,其精确解为u=sinπxsinπy。
首先利用上述原理进行分析,从而利用Matlab软件编写出相应程序。
【实验过程】〔实验步骤、记录、数据、分析〕
我们首先编写一个m文件,包含交替方向迭代法程序如下:
functionu=alter(a0,b0,f,h)
%输入-a0为x,y方向起始端点;
%-b0为x,y方向终点;
%-f为方程右端函数;
%-h为网格步长;
%输出-u为解矩阵。
p=200;
N=fix((b0-a0)/h);
u=zeros(N+1);
v=zeros(N+1);
g=zeros(N+1);
x=a0:h:b0;
y=x;
tau=h*h/(2*sin(pi*h));
a=-tau*ones(1,N-2);
c=a;
d=(h*h+2*tau)*ones(1,N-1);
fork=1:p
err=0;
fori=2:N
forj=2:N
g(i,j)=(h*h-2*tau)*u(i,j)+tau*(u(i,j+1)+u(i,j-1)+h*h*f(x(i),y(j)));
end
v(2:N,i)=trisys(a,d,c,g(2:N,i))';
end
fori=2:N
forj=2:N
g(i,j)=(h*h-2*tau)*v(i,j)+tau*(v(i+1,j)+v(i-1,j)+h*h*f(x(i),y(j)));
t=abs(u(i,j)-v(i,j));
if(err<t)
err=t;
end
end
u(i,2:N)=trisys(a,d,c,g(i,2:N));
end
if(err<1e-4)
err
k
break;
end
k=k+1;
end
取步长h=0.2,迭代残差为10-4。
然后在CommandWindow里编写如下程序:
f=inline('2*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)','x','y');
a0=0;b0=1;h=0.2;
u=alter(a0,b0,f,h);
x1=a0:h:b0;
y1=a0:h:b0;
surf(x1,y1,u)
运行结果如下所示:
err=6.4665e-05
k=9
将步长缩小为h=0.1,迭代残差为10-4。
然后在CommandWindow里编写如下程序:
f=inline('2*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)','x','y');
a0=0;b0=1;h=0.1;
u=alter(a0,b0,f,h);
x1=a0:h:b0;
y1=a0:h:b0;
surf(x1,y1,u)
运行结果如下所示:
k=19
【结论】〔结果〕
本次实验通过采用了不同的步长对同一迭代方法——PR迭代格式进行比拟,发现通过缩小步长,使得计算结果大大改善。
【小结】
交替方向迭代法的出现源于求解抛物型方程的交替方向隐格式,它的最大有点是容易实现,几乎不许要在计算机程序上消耗很多精力,只是它仅仅适用于矩形区域或它们的并集。该方法计算量较小,速度较快,适合利用计算机编程来解决问题。
指导教师评语及成绩:
成绩:指导教师签名:
批阅日期:
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