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河南省周口市川汇区周口恒大中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为

A． B．

C． D．

2．为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（????）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

3．若直线与函数和的图象都相切，则（????）

A．2或 B．1或 C．0或1 D．

4．若点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（????）

A． B． C． D．

5．设数列满足，且，则数列中的最大项为（????）

A． B． C． D．

6．已知在上运动，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

7．在等差数列{an}中，a3+a7＝4，则必有（????）

A．a5＝4 B．a6＝4 C．a5＝2 D．a6＝2

8．设双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上第一象限内的点，若的三个内角分别为、、且，则双曲线的渐近线方程为（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知三棱锥，，且，，两两垂直，G是的重心，E，F分别为，上的点，且，则下列说法正确的是（????）．

A． B． C． D．

10．若函数在上有最大值，则a的取值可能为（????）

A．－6 B．－5 C．－3 D．－2

11．下列命题正确的有（????）

A．两平行线间的距离为2

B．过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条

C．直线的方向向量可以是

D．直线与直线平行，则或2

12．从点发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆上，则下列结论正确的是（????）

A．若反射光光线与圆C相切，则切线方程为

B．若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为

C．若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是

D．若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是

三、填空题

13．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则．

14．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则.

15．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是．

16．已知等差数列中，，当且仅当时，前项和取得最小值，则公差的取值范围是.

四、解答题

17．已知函数．

（1）若在处导数相等，证明：；

（2）若，证明：对于任意，直线与曲线有唯一公共点．

18．已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)设，当有两个极值点，时，总有成立，证明：.

19．设关于的一元二次方程有两根和，且满足，．

（1）试用表示；

（2）求证：数列是等比数列．

20．如图，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC．E为AB中点．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面CEB夹角的余弦值．

21．如图，在四棱锥的底面是正方形，平面，为上的点，且．

（1）证明；

（2）若，求二面角的余弦值．

22．如图所示，椭圆的离心率为，其右准线方程为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为、，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点，求证：为定值.

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参考答案：

1．D

【分析】由双曲线虚轴长是实轴长的2倍，得到，即可求解双曲线的一条渐近线方程，得到答案．

【详解】由题意，双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，

所以，所以双曲线的一条渐近线方程为，故选D．

【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

2．C

【分析】确定，，排除ABD，得到答案.

【详解】对选项A：，向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项B：，向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项C：假设，即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；

对选项D：，向量共面，故不能构成基底，错误；

故选：C

3．B

【解析】设出直线与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方