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山西省太原市2023-2024学年高二下学期4月期中学业诊断数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．等差数列中，，则的公差（????）

A．3 B．2 C． D．

2．已知函数，则（????）

A． B． C．0 D．1

3．等比数列中，，则的前项和（????）

A． B． C． D．

4．函数的单调递增区间是（????）

A． B． C． D．

5．已知是等差数列，，，则（????）

A．6 B．9 C．18 D．27

6．已知函数的图象如下图所示，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C． D．

7．已知、分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（????）

A．13 B．3或13 C．9 D．9或18

8．已知函数在处有极小值，则的极大值为（????）

A．1 B．1或3 C． D．4或

二、多选题

9．已知等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C．是递增数列 D．是递增数列

10．已知函数，则下列结论正确的是（????）

A．有两个极值点 B．的极小值为

C．在上单调递减 D．函数无零点

11．已知数列满足，则下列结论正确的是（????）

A． B．是递增数列

C．是等比数列 D．是递增数列

12．已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C．当时， D．当时，

三、填空题

13．曲线在处的切线方程为．

14．已知数列中，，则．

15．已知递增等比数列的前项和为，且，，，则数列的前项和为．

16．函数的最小值为

四、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的极值；

(2)求在区间上的最大值与最小值．

18．已知递增等比数列满足，是与的等差中项．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

19．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．

20．已知数列中，，，是的前项和，且满足，等比数列中，，．

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，求使成立的的最大值．

21．已知函数．

(1)若恒成立，求实数的取值范围；

(2)设满足，证明：．

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参考答案：

1．A

【分析】直接根据等差数列的公差计算公式即可求解．

【详解】由得，，

故选：A．

2．C

【分析】利用导数的运算求解即可.

【详解】，

则.

故选：C

3．B

【分析】根据等比数列的通项公式整理方程，解得公比，利用求和公式，可得答案.

【详解】设等比数列的公比为，由，则，由，则，

解得，所以.

故选：B.

4．D

【分析】利用导数与单调性的关系，解不等式即可.

【详解】，由，得，

所以函数的单调递增区间是．

故选：D.

5．C

【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差，再借助通项公式计算即得.

【详解】设等差数列的公差为，由，，

得，解得，

所以.

故选：C

6．C

【分析】利用导数和函数单调性的联系，结合函数图象求解即可.

【详解】，

,

,

由图可知，，

在和单调递减，单调递增，

故的解集为,

所以二次函数开口向下，，

且的根为，

故，，

所以.

故选：C

7．D

【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由已知条件列出方程组，求出、，再由求和公式计算可得.

【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，，，

得，解得或．

或．

故选：D．

8．C

【分析】求出函数的导函数，由求出的值，再代入求出函数的单调性，从而确定函数的极值.

【详解】因为，

所以，

由，即，解得或，

当时

令，解得或，

所以当或时，当时，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极小值，在处取得极大值，

则；

当时

令，解得或，

所以当或时，当时，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意，故舍去；

综上可得；

故选：C．

9．ACD

【分析】首先由，得出的通项公式，即可判断A；由为增数列，且，即可判断C；由等差数列前项和公式即可判断B；由得出为公差为1的等差数列，即可判断D．

【详解】由得，，即，

因为，所以，，故A正确；

因为为增数列，且，所以时最小，

所以是递增数列，故C正确；

因为，故B错误；

因为，

所以，即为公差为1的等差数列，

所以是递增数列，故