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排序不等式探究

一、排序不等式:

设有两个有序实数组:···;···.···是

1,2,···,n的任一排列,则有

···+(同序和)

+···+(乱序和)

+···+(反序和)

当且仅当···=或···=时,等号成立.

(证明从略).

二、一个新的排序不等

设有两个有序正实数组:···;···.···

是1,2,···,n的任一排列,则有

····(反序积)

····(乱序积)

····(同序和)

当且仅当···=或···=时,等号成立.

三、排序不等式再探

定理1设有两个有序正实数组:···;···.

···是1,2,···,n的任一排列,则有

····(同序积)

····(乱序积)

····(反序积)

当且仅当···=或···=时,等号成立.

证明:由···,得···.

又···,于是由排序不等式有

···+(同序和)

···+(乱序和)

···+(反序和)

于是lg(····)

lg(····)

lg(····)

因而原不等式得证.

显然等号成立的条件是···=或···=.

说明:下面我们证明一个常见的不等式[2]

设,求证:

证明:由对称性,不妨设,则.于是

三式相乘,整理便得.

评注:本题传统的证法是运用作商法进行证明,但需要很高的变形技巧.

本证法简洁美观,易于推广.

定理2设有两个有序正实数组:···;

···.···是1,2,···,n的任一排列,则有

++···+(同序和)

++···+(乱序和)

++···+(反序和)

当且仅当···=或···=时,等号成立.

证明:我们先来证明这样一个事实:

若实数满足;.则.

设,,,令(其中),则

,

而,得,,得0.所以在

上为减函数,故=1,得

,变形得.

现在我们对乱序和++···+从左到右(可循环)进行如下调整:

①若,我们交换与的位置;

②若,我们就不再交换了.(其中1,2,···,n-1)

设经第一次调整后得到的和式为,由上面事实我们有,对于和式

我们继续作以上调整,又得和式,,···

经过有限次调整(可循环)最终必得和式=++···+.

有···,注意到以上调整等号成立的条件是

···=或···=,于是前一个不等式得证.

类似的调整可证明后一个不等式.

说明:到目前为止,有关该不等式的实例还很罕见.

定理3设···;···.

···是1,2,···,n的任一排列,则有

(倒序方—从上而下)

(乱序方)

(顺序方—从上而下)

当且仅当···=或···=时,等号成立.

证明:(1)我们先来证明这样一个事实:

若实数,满足.则.

作函数().则

故在为减函数,得,即

于是.

(2)我们再来证明这样一个事实:

若实数满足;.则.

因为

(i)

而,.于是(i)得证.同样可知后一不等式也正确.

现在我们对乱序方从上到下(可循环)经有限次调整为

,则,再将经有限次调整为,

则.注意到以上调整等号成立的条件是

···=或···=,于是前一不等式得证.

类似的调整可证明后一个不等式.

以上不等式因对称而优美,其应用还有待挖掘.