排序不等式参考学案.docxVIP

§排序不等式

☆学习目标：1.了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题;

2.体会运用经典不等式的一般思想方法

?知识情景：

1.一般形式的柯西不等式：设为大于1的自然数，(1,2,…,)，

则：.

当且仅当时,等号成立.

(若时，约定，1,2,…,).

变式10.设则：.

当且仅当时,等号成立.

变式20.设则：.

当且仅当时,等号成立.

变式30.(积分形式)设与都在可积，

则，

当且仅当时,等号成立.

2.探究如图，设，自点沿边依次取个点

，边依次取取个点，在边取某

个点与边某个点连接，得到，这样一一搭配，

一共可得到个三角形。显然，不同的搭配方法，

得到的不同，问：边上的点与边

上的点如何搭配，才能使个三角形的面积和最大（或最小）？？？

设，由已知条件，得

因为的面积是，而是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为

代数问题：则

何时取最大（或最小）值？

我们把叫做数组与的乱序和.

其中,称为序和.

称为序和.这样的三个和大小关系如何?

新知建构：

1.检验操作:填表:

2.一般性证明:

任意一个排列(有个不同的排列).所以,

的不同值也只有有限个(个).其中必有最大值和最小值.

考察,

10.若,则应有某,且,对换得

..

说明将中第一项换为后,和式变.

20.若,则转而考察,并进行类似讨论.可证将式中第二项换为后,和式变.

如此继续下去,经有限步调整,可知一切和数中,最大和数只能是.

且不难知道,最小和数只能是.因此

.

30.容易发现,当或时,;

如果不全相等,也不全相等.则和

使,考察和数

∵

∴.

定理(排序不等式,又称排序原理):为两组数,

任意一个排列,则

.

当且仅当或时,等号成立.

排序不等式的应用：

例1.若a1，a2，…，an为两两不等的正整数，

求证:.

例25个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟,8分钟,6分钟,10分钟,5分钟.那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？