重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（含答案解析）.docx

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重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知样本数据为、、、、、、，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（????）

A．极差 B．平均数 C．中位数 D．方差

2．已知为双曲线上一动点，则到点和到直线的距离之比为（????）

A．1 B． C． D．2

3．对于数列，若点都在函数的图象上，其中且，则“”是“为递增数列”的（????）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．甲?乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（????）

A．36 B．72 C．144 D．288

5．已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（????）

A． B．

C． D．

7．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为（????）

A．15 B．16 C．22 D．23

8．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：的为A级，的为B级，的为C级，的为D级，的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（????）附：

A．4 B．5 C．6 D．7

二、多选题

9．在的展开式中，各项系数的和为1，则（????）

A． B．展开式中的常数项为

C．展开式中的系数为160 D．展开式中无理项的系数之和为

10．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：

x

1

2

3

4

5

y

0.5

0.8

1

1.2

1.5

假设经验回归方程为，则（????）

A．

B．当时，y的预测值为2.2

C．样本数据y的40%分位数为0.8

D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变

11．已知函数，则（?????）

A．的零点为

B．的单调递增区间为

C．当时，若恒成立，则

D．当时，过点作的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为

三、填空题

12．某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则.

13．对于定义在非空集上的函数，若对任意的，当，有，则称函数为“准单调递增函数”，若函数的定义域，值域，则在满足这样条件的所有函数中，为“准单调递增函数”的概率是．

14．已知椭圆的上顶点为A，B、C在椭圆上，△ABC为等腰直角三角形，A为直角，若这样的△ABC有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为．

四、解答题

15．数列满足，，，.

(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

(2)求正整数，使得.

16．已知点，在抛物线上.

(1)若，记线段的中点为M，求点M到y轴的最短距离；

(2)若点，在直线上，且满足四边形为正方形，求此正方形的面积.

17．为方便起见，记一年有365天，并假设每个人的生日在365天中的任意一天都是等可能的.“生日悖论”指：在不少于23个人的群体中，至少有两人生日相同的概率大于50%.记事件为“前k人中没有人生日相同”，其中.

(1)证明：；

(2)直接写出的值，并证明：如果一个班上有不少于23人，则这个班上至少有两人生日相同的概率大于.

附：.

18．定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离．

(1)已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；

(2)已知点N是直线上的动点，点与点N的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；

(3)已知点，点（k，m，，e是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．

19．情报是仅含0和1两种的k位数据，例如11001.情报传输时要经过n个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为，每位数字1传错为0的概率为，其中，在各次传输过程中，情报中各数字相互独立，且传输中无其他错误发生.情报经过n个信号站传输后的情报为，设与完全相同的概率为，与中有个对应位置数字取值相等.

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