孤立子方程与代数几何解.doc

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摘要

本文主要介绍几种著名的孤立子方程和代数几何解，共分为三章：

第一章中，简单介绍非线性，特别是孤立子。简述孤立子理论的产生和发展过程并说明本文的主要内容。

第二章中，详细介绍五种著名的孤立子方程：KdV方程、Camassa-Holm方程、KP方程、sine-Gordon方程、Todalattice方程，以及它们的物理意义。

第三章中，简介几种经典形式的孤立子方程的解，特别是代数几何解。介绍代数几何解的产生和发展过程，以及它的特点。

关键词：非线性；孤立子；KdV方程；Camassa-Holm方程；KP方程；sine-Gordon方程；Todalattice方程；代数几何解

Abstract

Inthisthesis,afewfamoussolitonequationsandthealgebro-geometricsolutionsareintroduced.Theoutlineofthisthesisisasfollows:

Inchapter1,asimpleintroductionofnonlinearityandsolitonaregiven.Theoriginationanddevelopmentofthesolitontheoryarealsopresented.

Inchapter2，fivekindsoffamoussolitonequation：KdVequation、Camassa-Holmequation、KPequation、sine-Gordonequation、Todalatticeequation，andtheirphysicalsignificanceareintroduced.

Inchapter3,severaltypicalformsofsolutionsforsolitonequations,especiallythealgebro-geometricsolutionsarerecommended.Theemergenceanddevelopmentofalgebro-geometricsolution,anditscharacteristicsaredescribedindetail.

KeyWords:Nonlinearity;Soliton;KdVequation;Camassa-Holmequation;KPequation;sine-Gordonequation;Todalatticeequation;Algebro-Geometrysolution

第一章引言

随着自然科学和技术的发展，人们发现客观世界的真实情况不能完全由线性模型反映出来，而非线性现象在客观世界占据了统治地位。但是迄今为止，对非线性的概念、非线性的性质，依然没有清晰的、完整的认识。非线性科学是在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为自然科学的“第三次革命”。非线性科学几乎涉及了自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。因此人们投入了极大的热情在非线性科学的发展上，使得非线性科学的研究范围几乎涉及了社会科学与自然科学的所有领域。在非线性科学中，研究主体形成了3个最基本得分支：混沌、分形、孤立子。其中，混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动。混沌并不是无序和紊乱，更像是没有周期的秩序。在理想模型中，它可能包含着无穷的内在层次，层次间存在着“自相似性”。分形是一种来自于思维上的理论存在，由某些不规整但却具有某种无穷嵌套自相似性的几何图形抽象概括得出。其内部存在着无穷层次，具有见微知著、由点及面的自相似结构。而孤立子是非线性动力系统中的非线性与色散两种作用相互平衡的结果，代表着非线性科学中无法预料的有组织行为。虽然孤立子或孤立波一词常在广泛的范围内被引用，但无一般形式的定义，因为它还在发展中，给它下个严格的定义比较困难，且为时尚早。与混沌、分形一样，孤立子从被发现到理论的形成、发展及应用也是充满了许多趣话甚至传奇色彩，而且似乎更为曲折更为坎坷，更能给我们以深思和启示。孤立子理论的初期研究主要集中在数学问题上，随着研究的深入，科学家们开始不满足从纯数学的形式来研究孤立子，企图在流体力学以外的领域寻找其它类型的孤立子。结果令人大为振奋，人们在不同的自然科学领域都发现了孤立子的存在。到目前为止，孤立子现在已经广泛的应用到许多领域中，例如流体力学