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第5讲：功和能

大家好。能量是物理学中最为重要的概念之一，正像费曼所说的那样；“那是一个最为抽象的概念。”人类认识这个概念经历了长期的曲折的过程。能量可从一种形式转化为另一种形式，但总量不变，做功是使能量发生转化的一种手段。下面我们将从变力做功开始该部分知识的学习，然后讨论动能、势能、机械能及它们之间的转化和守恒等问题。

在中学就学过功的概念：功是力在受力质点位移上的投影与位移的乘积。这是力的大小方向不变，且位移沿直线的情况或其它较为简单的情况。通过前面的学习知道恒力是极特殊的情况，一般情况力都是变化的，它可以是时间的函数、速度的函数以及位置矢量的函数。因此现在需要讨论的是，质点受变力作用沿曲线运动的一般情况，即变力做功问题（点PPT）。研究思路是，以恒代变，以直代曲。假设一质点在力F的作用下沿曲线运动,将受力质点的路径分成许多小段儿，每段可视为一方向不变的位移，在这小位移上力也可以认为是不变的，那小位移为无穷小量，可认为与轨迹重合，称为元位移，力在元位移上的功称为元功，定义元功等于力F与受力质点无穷小位移的标积。其中表示力与位移的夹角

若路径为有限路径，质点在变力F的作用下自r0沿曲线运动到r1,可将受力点的运动看作由许多元位移组成，力的元功为

总功

根据积分的定义可得力在有限路径上的功的表达式

即变力的功等于元功之和。比如在平面直角坐标系，可以表示成

表示力沿x轴和沿y轴做功的代数和

物体由于运动而具有的能量称为动能，用EK表示，表达式：，单位：焦耳，是一个标量。在中学阶段知道质点动能的增量等于作用于质点的合力所做的功，称为质点的动能定理。下面利用积分和微分的形式给出更严格的定理表达式：积分形式

即质点动能的增量等于作用于质点的合力所做的功；微分形式

即质点动能的微分等于作用于质点的合力所做的元功。由动

能定理可以看出当合外力做正功时，质点动能增加，反之，动能减少

虽然定理内容和中学所学的一样，但是其中的力F不再局限恒力，

可以是变力。动能定理的应用主要有以下两方面：知道力的功和一个速度大小可求其他时刻的速度的大小；知道初末速度的大小可求该过程力做的功。上面介绍的是单个质点动能定理，对于多个质点组成的质点系，若作用于各质点合力的功等于

各质点的动能从变成

在质点系中任取一质点i，根据质点的动能定理：

将上式对质点系所有质点求和，并省去角标有

质点系内各质点动能之和叫做质点系的动能，上式中的为质点系的初动能，为质点系的末动能。为作用于质点系一切力所做的功，可分为两部分，一部分一切外力做功的和，另一部分一切内力所做功的和。即

内力是质点系特有的力，从前面的学习知道，内力都是成对儿出现，而且这对力是作用力与反作用力，合力为零，因此，质点系内力的矢量和为零。那么内力做功的和是否为零呢？以一对力为例进行分析。

在系统中任取两质点。质量分别为m1，m2,参考点为O，两质点的位置矢量分别为r1和r2.假设质点1在力-f的作用下发生元位移为dr1，质点2在力f的作用下发生元位移dr2。这一对力的元功dA就等于进一步整理得

dA，其中，为质点2相对于质点1的元位移，用r表示质点2相对于质点1的位置矢量，则,因此

元功可表示为：，由此可见一对力的功大小决定于力和质点间的相对位移。将dr分解为与r垂直和平行的二分位移d1r和d2r,由图可知力与d2r共线，因此力F只在分位移d2r上做功，

由上式可得出结论：1二质点间作用力和反作用力所做功的代数和决定于力和质点间相对距离的改变。2.一对内力做功一般情况下不等于零，仅当二质点沿力的方向无相对运动时作用力和反作用力做功的代数和才等于零，所以质点系内力功之和一般不等于零。

因此质点系的动能定理表述为：质点系动能的增量在数值上等于一切外力做功和一切内力做功的代数和。

中学阶段，我们学习了势能。如重力势能，弹性势能，万有引力势能等，与势能相对应的力分别是重力，弹力和万有引力。由此可知势能是和力相对应的。这些与势能相对应的力，我们称它为保守力，保守力所在的力场，称为保守力场，那么保守力有什么样的特征呢？

下面以重力做功为例分析保守力的特征

在重力作用下,质点m