求解高等数学常见的变分法问题.pdfVIP

在高等数学中，变分法是一个极为重要的工具。在求解有关泛

函、微积分、微分方程等等的问题时，也需要用到这种方法。但

对于大部分学生来说，面对变分法的问题时，会感到畏惧和无从

下手。因此，本文将详细地探讨求解高等数学常见的变分法问题

的方法和技巧。

一、变分法的定义及原理

变分法是处理问题时用到的一种数学方法，它是数学、物理、

工程、经济等领域中的一种常用工具。所谓变分法，简单来说，

就是研究某个函数的性质时，通过对这个函数进行变化，从而获

得其性质的方法。比如，对于某个函数，我们可以通过对它进行

微小的变化，从而求出其最小值或最大值。

变分法的原理基于泛函的极值问题。泛函是一种映射，用于将

函数的集合映射到实数集上。在变分法中，我们需要寻找一个函

数，使得其在给定的条件下可以使泛函达到最小值或最大值。这

种方法被广泛应用于很多领域，例如物理学、建筑学、工程学等

等。

以下是一些常见的变分法问题：

1.求解最速降线问题：对于两个点，通过曲线连接它们，使得

路径的长度最短。

2.求解布尔诺利问题：对于液压机械，如何使得机械的液压能

最大化。

3.求解拉盖朗日问题：根据给定的约束条件，如何使得泛函的

极值最小。

4.求解哈密顿问题：对于系统的某些能量和约束的变化，如何

寻找系统的变化量。

5.求解凸性问题：研究某种特殊的函数，寻找其函数图像的性

质。

论。

三、求解变分法问题的方法

对于上述这些变分法问题，求解的方法总体上可以分为以下几

个步骤：

1.确定泛函及函数空间：首先需要确定泛函的形式以及函数属

于哪个函数空间。

2.利用欧拉-拉格朗日方程：此方程是变分法求解问题的关键，

它可以将泛函最佳化问题转换成求解常微分方程问题。

3.求解常微分方程：根据欧拉-拉格朗日方程构造一个常微分方

程，并利用一系列技巧求解该方程。

4.求解极值：将所求得的解代入泛函中，最终得到泛函的极值。

另外，需要注意，在求解变分问题的过程中，可能会有一些特定

的问题需要特殊的技巧进行解决。例如，某些问题可能需要利用

求解。

四、一些基本的技巧

1.利用欧拉-拉格朗日方程极大化问题：欧拉-拉格朗日方程是

变分法的一个核心，重要的是如何正确应用这个方程。在寻找方

程的解的时候，我们需要快速地消去二阶导数部分的项，通常我

们要对题目中的所有部分求解微分并把非二阶导数的项变成类似

于y或者y这种的表达方式。通过这种方式，就可以有效地简化

欧拉-拉格朗日方程。

2.凸函数的极大极小化问题：凸函数的最大和最小通常不在端

点而是在区间内部。对于这种情况，我们通常需要寻找凸函数的

导数并利用导数来找到函数的最大值和最小值。

3.利用周期性边界条件来求解问题：有些变分问题存在于周期

性边界条件下，此时需要使用周期性边界条件来求解问题。

五、总结

经济等领域中都有广泛的应用。在高等数学教学中，变分法也是

一个比较难以入门的部分。但是，只要掌握了一些基本的技巧，

再加上足够的练习和耐心，相信大家都能够在变分法方面得到很

好的提高。