考研数学三(线性代数)模拟试卷131(题后含答案及解析).doc

考研数学三（线性代数）模拟试卷131(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则()．

A．当m＞n时，必有｜AB｜≠0

B．当m＞n时，必有｜AB｜=0

C．当n＞m时，必有｜AB｜≠0

D．当n＞m时，必有｜AB｜=0

正确答案：B

解析：AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m，n}，r(B)≤min{m，n}，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故当m＞n时，r(AB)≤n＜m，于是｜AB｜=0，选

B．知识模块：矩阵

2．设A为m×n阶矩阵，且r(A)=m＜n，则().

A．A的任意m个列向量都线性无关

B．A的任意m阶子式都不等于零

C．非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解

D．矩阵A通过初等行变换一定可以化为(Em｜0)

正确答案：C

解析：显然由r(A)=m＜n，得r(A)=r(A)=m＜n，所以方程组AX=b有无穷多个解．选

C．知识模块：矩阵

3．设矩阵A=(α1，α2，α3，α4)经行初等变换为矩阵B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则()．

A．β4不能由β1，β2，β3线性表示

B．β4能由β1，β2，β3线性表示，但表示法不唯一

C．β4能由β1，β2，β3线性表示，且表示法唯一

D．β4能否由β1，β2，β3线性表示不能确定

正确答案：C

解析：因为α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，所以α4可由α1，α2，α3唯一线性表示，又A=(α1，α2，α3，α4)经过有限次初等行变换化为B=(β1，β2，β3，β4)，所以方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4与x1β1+x2β2+x3β3=β4是同解方程组，因为方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4有唯一解，所以方程组x1β1+x2β2+x3β3=β4有唯一解，即β4可由β1，β2，β3唯一线性表示，选

C．知识模块：向量

4．设A，B是满足AB=O的任意两个非零阵，则必有()．

A．A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关

B．A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关

C．A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关

D．A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关

正确答案：A

解析：设A，B分别为m×n及n×c矩阵，因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤n，因为A，B为非零矩阵，所以r(A)≥1，r(B)≥1，从而r(A)＜n，r(B)＜n，故A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，选A．知识模块：向量

5．设有方程组Ax=0与BX=0，其中A，B都是m×n阶矩阵，下列四个命题：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解以上命题正确的是()．

A．(1)(2)

B．(1)(3)

C．(2)(4)

D．(3)(4)

正确答案：B

解析：若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n－r(A)≤n－r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选

B．知识模块：线性方程组

6．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是()．

A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等

B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵

C．若r(A)=r＜N，则A经过有限次初等行变换可化为

D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等

正确答案：D

解析：A不对，如，A的两个特征值都是0，但r(A)=1；B不对，因为A～B不一定保证A．B可以对角化；C不对，如A经过有限次行变换化为经过行变换不能化为因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P．使得于是r(A)=故选

D．知识模块：矩阵的特征值和特征向量

7．设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X，有XTAX=0，则()．

A．｜A｜=0

B．｜A｜＞0

C．｜A｜＜0

D．以上都不对

正确答案：A

解析：设二次型f=XTAX=λ1y12+λ2y22+λ3y32，其中Q为正交矩阵．取则f=XTAX=λ1=0，同理可得λ2=λ3=0，由于A是实对称矩阵，所以r(A)=0，从而A=0，选A．知识模块：二次型

填空题

8．设A为三阶正交矩阵，且｜A｜＜0，｜B－A｜=