《微积分》课后习题答案详解-八.doc

习题八

（A）

1．用级数收敛的定义或级数的性质判断下列级数的敛散性：

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）．

解：(1)

因为

所以发散．

(2)

所以收敛．

(3)

因为

所以发散．

（4）

所以是等比数列，又因为

所以收敛．

(5)

因为

所以发散．

(6)

因为

所以发散．

2．证明：若正项级数收敛，则级数必收敛．并举例说明其逆命题不成立．

解：因为=0所以存在当时

所以存在当时，

又因为收敛，所以收敛。

例如：

收敛，而发散

所以其逆命题不成立。

3．证明：若级数与都收敛，则正项级数，，也收敛．

解：因为且

所以收敛

因为且

所以收敛．

因为且收敛．

所以收敛．

4．证明：若级数与都收敛，且存在整数使得当时不等式成立

成立，则级数必收敛．

若级数与都发散，且存在正整数使得当时不等式成立

成立，试问级数是否必发散？

解：证明：

因为收敛且收敛．

所以收敛，所以收敛

所以收敛．

例如：=-1发散，=1发散，收敛．

所以级数未必发散．ssss

5．已知正项级数与都发散，试问正项级数，是否也发散？说明理由．

解：由比较判别法知正项级数必发散，但未必发散，例如：

令

则．

6．利用比较判别法及其极限形式判别下列正项级数的敛散性：

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）（6）；

（7）；

（8）；（9）；（10）（其中常数）．

解：（1）

因为收敛，所以收敛．

（2）=1

因为所以收敛．

所以收敛．

(3)因为=且发散．

所以发散．

（4）

因为所以

收敛．

所以收敛．

（5）

因为是发散的．

所以是发散的．

（6），又因为收敛．

所以原级数收敛．

（7）=

因为为常数）且收敛．

所以原式也收敛．

（8）

因为收敛，所以原式收敛．

（9）

因为收敛

所以收敛．

（10）当时，发散．当时，

因为收敛，所以

当时，发散．

所以当收敛，当时发散．

7．利用比值判别法及根值判别法判别下列正项级数的敛散性：

(1)；(2)；(3)(4)；

（5）（其中常数）；（6）（7）；

（8）；（9）；（10）；

解：(1)

所以收敛．

(2)

所以发散．

(3)

所以发散．

(4)

所以是收敛的．

(5)

所以收敛．

(6)

所以收敛．

(7)

所以收敛．

(8)所以发散．

(9)

所以收敛．

(10)

所以收敛

8．判别下列交错级数的敛散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛：

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）；

（7）；（8）；

（9）；

（10）．

解：（1）且

所以又因为也收敛．

所以原级数是绝对收敛的．

（2）且

所以收敛，又因为发散

所以条件收敛．

（3）且

所以，又因为发散，

所以原级数条件收敛．

（4）且

所以收敛．

又因为发散．

所以原级数条件收敛．

（5）

且

所以收敛．

又因为发散

所以原级数条件收敛．

（6）

因为所以

因为

所以

又因为发散，所以原级数条件收敛．

（7），因为

所以

所以收敛．

又因为收敛，那么原级数绝对收敛．

（8）因为

所以

所以

又因为

所以收敛．

又因为

所以原级数条件收敛．

（9）=

所以原级数发散．

（10）=

因为收敛，且收敛．

所以且收敛．

所以原级数收敛．

9．设是一个常数，判别级数的敛散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛．

解：当时时收敛．

当，时收敛．

所以时绝对收敛．

当时为常数）

所以当时发散

10．设是一个常数，判别级数的剑散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛，而且其敛散性是否与常数的取值有关．

解：因为因为

所以

所以收敛．

又因为收敛

所以对任意常数级数绝对收敛．

11．设是一个常数，判别级数是敛散性，当级数收敛时要确定级数是绝对收敛还是条件收敛，而且其敛散性是否与常数的取值有关．

解：因为

所以

又因为

所以收敛．

又因为发散．

所以条件收敛．

12．已经幂级数在点处收敛，在点处发散，求幂级数的收敛半径与敛域．

解：因为在处收敛．在点处发散．

所以收敛半径是

所以的收敛半径是

的收敛半域是[0，4]；

13．求下列幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域：

（1）；（2）；（3）；

（4）（其中是一个正整数）；（5）（注意0！=1）；

（6）；（7）；（8）（其中常数）；

（9）；（10）．

解：(1)

所以,所以收敛区间为（-2，2）

当时，收敛．

当时，发散．

所以收敛域是[-2，2

（2）

所以，收敛半径区间为，

当时发散，

当时