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高数习题第8章

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高数习题第8章

第八章重积分

作业9二重积分的概念与性质

1．利用二重积分的性质,比较下列积分的大小：

（1）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0

(a)D是由直线SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所围成的闭区域；

(b)D是由圆周SKIPIF1<0所围成的闭区域．

解：(a)因为在区域内部有SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0大

(b)因为在区域内部有SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0大

（2）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0

(a)D是矩形闭区域：SKIPIF1<0；

(b)D是矩形闭区域：SKIPIF1<0．

解：(a)因为在区域内部有SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0大

(b)因为在区域内部有SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0大

（3）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由三个坐标面与平面SKIPIF1<0所围成的闭区域．

解：因为在区域内部有SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0大

2．利用积分的性质，估计下列各积分的值：

（1）SKIPIF1<0，其中D是矩形闭区域：SKIPIF1<0；

解：因为在区域内部有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0

（2）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为球体SKIPIF1<0；

解：因为在区域内部有SKIPIF1<0，

因此SKIPIF1<0

（3）SKIPIF1<0，其中L为圆周SKIPIF1<0位于第一象限的部分；

解：因为在曲线上积分，

不妨设SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，

因此SKIPIF1<0

（4）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为柱面SKIPIF1<0被平面SKIPIF1<0所截下的部分．

解：因为在曲面上积分，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

因此SKIPIF1<0

作业10二重积分的计算

1．试将二重积分SKIPIF1<0化为两种不同的二次积分，其中区域D分别为：

（1）由直线SKIPIF1<0及双曲线SKIPIF1<0所围成的闭区域；

解：作图得知区域D可以表示为：SKIPIF1<0，

得SKIPIF1<0

区域D也可以分块表示为：SKIPIF1<0

从而SKIPIF1<0

（2）环形闭区域：SKIPIF1<0．

解：在极坐标下环形闭区域SKIPIF1<0为SKIPIF1<0

从而SKIPIF1<0

在直角坐标下环形闭区域SKIPIF1<0需分块表达，分块积分变为

SKIPIF1<0

2．改换下列二次积分的积分次序（填空）：

（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；

（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；

（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0．

3．画出积分区域，并计算下列二重积分：

（1）SKIPIF1<0，其中D是由两条抛物线SKIPIF1<0所围成的闭区域；

解：作图，原式=SKIPIF1<0

（2）SKIPIF1<0，其中D是由SKIPIF1<0所确定的闭区域；

解：作图，原式=SKIPIF1<0

（3）SKIPIF1<0，其中D是由不等式SKIPIF1<0所围成的闭区域；

解：作图，原式=SKIPIF1<0

（4）SKIPIF1<0，其中D是顶点分别为SKIPIF1<0的三角形闭区域．

解：作图，原式=SKIPIF1<0

4．求由SKIPIF1<0曲线所围成的闭区域的面积．

解：曲线方程联立，得SKIPIF1<0

作图知，原式=SKIPIF1<0

5．求由四个平面SKIPIF1<0所围柱体被平面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0所截得的立体的体积．

解：四个平面SKIPIF1<0决定的区域D为：SKIPIF1<0

在区域D内部SKIPIF1<0

从而所截得的立体的体积

SKIPIF1<0SKIPIF1<0

6．化下列二次积分为极坐标系下的二次积分：

（1）

SKIPIF1<0SKIPIF1<0

（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；

7．利用极坐标计算下列积分：

（1）SKIPIF1<0，其中D是由圆周SKIPIF1<0所围成的闭区域；

解：D是圆周SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0

从而SKIPIF1<0

（2）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是由圆SKIPIF1<0所围成的闭区域；

解：D是圆周SKIPIF1<0围成，

知其为SKIPIF1<0

从而原式=SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

（3）SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0SKIPIF1<0所确定的闭区域；

解：D是圆环的关于原点对称的两部分，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0

从而原式=