河北省唐山市2024届普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练数学试题.docx

2024届唐山市普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练

数学

本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂黑其他答案标号．解答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，集合，集合，则（）

A． B． C． D．

2．某地区5000名学生的数学成绩（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1800，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（）

A．200 B．700 C．1400 D．2500

3．若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双曲线．已知双曲线的标准方程为，则的共轭双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．2

4．函数（）在上为单调递增函数，则的取值范围为（）

A． B． C． D．

5．已知长方体的一条棱长为2，体积为16，则其外接球表面积的最小值为（）

A． B． C． D．

6．已知数列满足，，则（）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知为平面外的一条直线，则下列命题中正确的是（）

A．存在直线，使得， B．存在直线，使得，

C．存在直线，使得， D．存在直线，使得，

8．已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（）

A．相关系数变小 B．经验回归方程斜率变小

C．残差平方和变小 D．决定系数变小

10．设抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（）

A． B．以为直径的圆与相切

C．以为直径的圆过坐标原点 D．为直角三角形

11．设函数，则下列结论正确的是（）

A．为奇数时，在单调递增

B．为奇数时，在有一个极值点

C．为偶数时，在单调递增

D．为偶数时，的最小值为0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为______．

13．公式，其等号右侧展开式共有3类非同类项，的展开式共有6类非同类项；那么的展开式共有______类非同类项，的展开式共有______类非同类项．

14．锐角中，边上的高为4，则面积的取值范围为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

如图，在三棱台中，平面，，，．

（1）求证：；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

16．（15分）

某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为．

（1）若学生甲摸球2次，其总得分记为，求随机变量的分布列与期望；

（2）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率．

17．（15分）

（1）证明：；

（2）若，，利用（1）结合自己所学知识，求．

18．（17分）

已知椭圆的右焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为；菱形内接于椭圆．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）（ⅰ）坐标原点在边上的投影为点，求点的轨迹方程；

（ⅱ）求菱形面积的取值范围．

19．（17分）

数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当（）时命题成立；2．假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立．

用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即，整数是商．如，则；再如，则．当时，则称整除．

现从序号分别为，，，，…，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为．如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6