湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题.docx

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2024年高一数学期中考试试题

一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）

1．若复数z满足，则z的虚部是（）

A． B． C． D．

2．在△ABC中，点D是边AB的中点，则有（）

A． B．

C． D．

3．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）

A．CC1与B1E是异面直线 B．CC1与AE是共面直线

C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与BB1是共面直线

4．若，，，，则＝（）

A． B． C． D．

5．定义：若z2＝a+bi（a，b∈R），则称复数z是复数a+bi的平方根．根据定义，复数9﹣40i的平方根为（）

A．3﹣4i，﹣3+4i B．4+3i，4﹣3i

C．5﹣4i，﹣5+4i D．4﹣5i，﹣4+5i

6．一个球的外切正方体的全面积等于6cm2，则此球的体积为（）

A． B． C． D．

7．下列命题正确的为（）

①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；

②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；

③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；

④已知a，b，c为三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．

A．①③ B．②③ C．②④ D．①②

8．如图，某人用1.5m长的绳索，施力25N，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了6m，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为1.2m，则此人对该物体所做的功为（）

A． B． C．125J D．150J

二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）

（多选）9．在△ABC中，已知，，B＝45°，则角A的值可能为（）

A．30° B．120° C．60° D．150°

（多选）10．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列说法，正确的有（）

A．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β

B．若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β

C．若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β

D．a?α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b

（多选）11．关于直线m，n与平面α，β，以下四个命题中真命题是（）

A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n

B．若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n

C．若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n

D．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n

（多选）12．已知两个不相等的非零向量、，两组向量x1、x2、x3、x4、x5和y1、y2、y3、y4、y5均由2个和3个排列而成．记S＝x1?y1+x2?y2+x3?y3+x4?y4+x5?y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题中真命题为（）

A．S可能有5个不同的值

B．若，则Smin与无关

C．若，则Smin＞0

D．若，，则与的夹角为

三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）

13．命题“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．

14．已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为．

15．已知向量＝（2，2），＝（cosα，sinα），则向量的模的最大值是．

16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1＝AB，D，E，F分别是棱AA1，BB1，BC的中点，则异面直线DF与C1E所成角的余弦值是．

四．解答题（共6小题，共70分）

17．如图，已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．(10分）

（1）证明：D1A∥平面C1BD；

（2）求三棱锥B﹣A1B1C1的体积．

18．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若函数g（x）＝f（x）sinx，求g（x）在区间上的最大值和最小值．

19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．(12分）

（1）求角A的大小；

（2）若a＝2，求中线AD长的范围（点D是边BC中点）．

20．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动．A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，∠ABC＝45°，∠BCA＝105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角α为75°．(12分）

（1）求A，C两点间的距离；

（2）求大楼的高度．

21．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知边c＝2，且a?sinA﹣a?sinB＝